Solucionario

Hacia la universidad

Probabilidad y estadística

OPCIÓN A 1.

Se lanza un dado cargado cuyas caras con números múltiplos de tres tienen triple probabilidad de salir que cada una de las otras. Halla la probabilidad de obtener un número menor o igual que tres al lanzar el dado una sola vez. Sea X el número que obtengo al lanzar el dado, X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Como el dado está cargado:

P ( X = 1) = P ( X = 2) = P ( X = 4) = P ( X = 5) = p  1   p + p + 3p + p + p + 3p = 1  10p = 1  p = P ( X = 3) = P ( X = 6) = 3 p 10 

Y la probabilidad que nos piden es: P ( X ≤ 3 ) = P ( X = 1) + P ( X = 2) + P ( X = 3 ) = 2.

1 1 3 1 + + = 10 10 10 2

Sabiendo que P ( A ∩ B) = 0,55 , P(A) = 0,4 y P(B) = 0,35, ¿son independientes A y B?

A y B son dos sucesos independientes si y solo si P (A ) ⋅ P (B ) = P (A ∩ B ) .

(

)

(

)

Ahora bien, P A ∩ B = P A ∪ B = 1 − P (A ∪ B )  P (A ∪ B ) = 1 − 0,55 = 0,45

P (A ∩ B ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∩ B ) = 0,4 + 0,35 − 0,45 = 0,3   son distintos  A y B son dependientes. P ( A) ⋅ P (B ) = 0,4 ⋅ 0,35 = 0,14 

3.

En un almacén hay tres estanterías en las que hay colocados dos tipos de productos: A y B. En la primera hay 30 de tipo A y 40 de tipo B; en la segunda, 10 de tipo A y 50 de tipo B, y en la tercera, 25 de tipo A y 25 de tipo B. a) Si elegimos una estantería y un producto al azar, calcula la probabilidad de que este sea del tipo A. b) Si elegimos un producto al azar de una de las estanterías y resulta que es del tipo B, halla la probabilidad de que proceda de la segunda estantería. 30 70

A

40 70 10 60

B

50 60

B

25 50

A

25 50

B

1º E

a) P (tipo A) =

1 30 1 10 1 25 18 + 7 + 21 23 ⋅ + ⋅ + ⋅ = = = 0,365 3 70 3 60 3 50 126 63

1 50 5 P ( 2ª E ∩ tipo B ) 3 ⋅ 60 7 18 b) P ( 2ª E tipo B ) = = = = = 0, 4375 23 40 16 P ( tipo B ) 1− 63 63

4.

1 3 1 3

2º E

1 3

3º E

A

Las visitas que recibe una página web en un día siguen una distribución normal de media 5825 visitas y desviación típica 325 visitas. Se eligen al azar 40 días. Calcula la probabilidad de que haya menos de 234 000 visitas. Sea X la distribución del número de visitas que recibe la página web en un día: X ≈ N ( 5825,325 ) . Entonces, el número de visitas que recibe una página web en 40 días sigue una distribución normal:

(

)

T ≈ N 40 ⋅ 5825;325 40 = N ( 233000; 2055, 48 ) 234000 − 233000   P(T < 234 000) = P (T < 234000 ) = P  Z <  = P ( Z < 0, 49 ) = 0,6879 2055, 48  

5.

Se sabe que la desviación típica del peso de las sandías de una plantación es de 750 g. Calcula el número mínimo de sandías que se han de elegir para, con un nivel de confianza del 95%, estimar el peso medio de cada una con un error menor de 300 g. Explica los pasos realizados para obtener el resultado. Del enunciado se deduce que: σ = 750 g; 1 – α = 0,95  z α = 1,96 y E < 300. 2

El error máximo admisible es: E = z α ⋅ 2

σ

n

.Así que sustituyendo tenemos que: 1,96 ⋅

750

Por tanto, el número de sandías que debemos coger para la muestra debe ser n = 25.

118

Solucionario

n

< 300  n > 24,01.

6.

Las tallas de los alumnos que cursan primero de ESO siguen una distribución normal de media μ = 166 cm y desviación típica σ = 8 cm, mientras que las tallas de los alumnos que cursan primero de Bachillerato siguen una distribución normal de media μ = 173 cm y desviación típica σ = 10 cm. Se eligen al azar 40 alumnos de primero de ESO y 35 de primero de Bachillerato. Halla la probabilidad de que la diferencia entre las tallas medias de las muestras sea inferior a 6 cm. La diferencia de las medias de las tallas en el muestreo sigue una distribución normal:   σ12 σ22  102 82  X1 − X 2 ≈ N  μ1 − μ 2 ; + = N  173 − 166; + = N (7; 2,11) .   35 40  n1 n2      Así, la probabilidad será:

(

)

6−7  P X1 − X 2 < 6 = P  Z <  = P (Z < −0,47 ) = P (Z > 0,47 ) = 1 − P (Z < 0,47 ) = 1 − 0,6808 = 0,3192 2,11  

7.

Una empresa está estudiando la duración de un electrodoméstico. Se tomó una muestra aleatoria formada por 56 aparatos y se obtuvo que la duración media fue de 3,4 años, con una desviación típica de 1,2 años. a) Halla un intervalo de confianza para la duración media del aparato para la población considerada al nivel de confianza del 85%. b) Repite el apartado a para niveles del 95% y del 99%. c) Compara las longitudes de los intervalos obtenidos en a y b, e interpreta según los distintos valores del nivel de confianza. d) ¿Cuál debería ser el tamaño de la muestra para tener la certeza al nivel del 90% de que el error máximo cometido es del 5%? a) Se quiere estimar la media poblacional μ con σ desconocida y una muestra de tamaño n = 56. El estimador  sˆ  que se utiliza es la media muestral X , que sigue una distribución normal N  μ, . Fijando el nivel de  n   confianza 1 – α = 0,85 se obtiene que el valor crítico es z α = 1,44. Para x = 3,4 y sˆ = 1,21 construimos el 2

intervalo de confianza para la media poblacional μ a partir de un valor particular del estimador media muestral X de la muestra elegida:

 I C =  x − zα  2 

sˆ n

, x + zα 2

 sˆ  1,21 1,21   =  3, 4 − 1, 44 ; 3, 4 + 1, 44  = ( 3,17; 3,63 ) n  56 56  

b) Intervalo de confianza para los niveles del 95% y del 99%:  1,21 1,21  ; 3, 4 + 1,96 1 – α = 0,95  z α = 1,96  I C =  3, 4 − 1,96  = ( 3,08; 3,72 ) 2 56 56    1,21 1,21  ; 3, 4 + 2,58 1 – α = 0,99  z α = 2,58  I C =  3, 4 − 2,58  = (2,98; 3,82) 2 56 56   c) Conviene observar que el centro de los tres intervalos para esta muestra particular es 3,4. Para otras muestras, el centro, lógicamente, variará en función del valor particular del estimador media muestral. Cuanto mayor es el nivel de confianza 1 – α, mayor es la amplitud del intervalo y, en consecuencia, mayor es la probabilidad de que el verdadero valor μ esté contenido en el intervalo.

d) El error máximo admisible E viene dado por la expresión E = z α ⋅ 2

σ

n

.

Como 1 – α = 0,90  z α = 1,645 y E = 5%, así que sustituyendo tenemos que 2

1,64 ⋅

2

 1,64 ⋅ 1,2  < 0,05  n =   = 1549,2.  0,05  n

1,2

Así pues, el número de electrodomésticos que debemos tomar para la muestra debe ser n = 1550, y como ya tenemos 56 aparatos, deberemos añadir 1550 – 56 = 1494.

Solucionario

119

Solucionario 8.

Un 10% de quienes utilizan cierto analgésico sufren pequeñas molestias gástricas. Un nuevo producto tiene un mayor poder analgésico, pero parece que es más fácil que ocasione esos pequeños efectos secundarios. De hecho, de una muestra de 140 personas que habían utilizado el nuevo medicamento, 21 afirmaron haberlos sufrido. a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que con el nuevo medicamento se corre el mismo riesgo de padecer efectos secundarios que con el otro, frente a que, como parece, el riesgo es mayor. Explica qué tipo de errores se pueden cometer al obtener las conclusiones y cómo se llaman. b) Explica claramente a qué conclusión se llega en el test planteado en el apartado anterior para un nivel de significación del 2%. Deseamos contrastar la hipótesis de que con el nuevo medicamento se corre el mismo riesgo de padecer efectos secundarios que con el antiguo, y para ello planteamos un contraste de hipótesis unilateral para la proporción. Hipótesis nula: H 0 : p = 10% = 0,1 Hipótesis alternativa: H1 : p > 10% = 0,1 Los tipos de errores que puedo cometer son los siguientes: Error tipo I: rechazar H 0 cuando realmente es verdadera. Error tipo II: aceptar H 0 cuando realmente es falsa. nA −p  sigue una  . Si H 0 , la variable Z = n  p⋅q  n  p ⋅q  distribución normal N ( 0; 1) y la región de aceptación será  −∞, p + z1−α ⋅ .  n  

 n La proporción pˆ = A sigue una ley normal N  p;  n 

Del enunciado se deduce que α = 0,02, n = 140,

p ⋅q n

nA 21 = = 15% = 0,15 y p = 10% = 0,1 . n 140

 0,1⋅ 0,9 Como α = 0,02  1 – α = 0,98  z1−α = 2,05 . La región de aceptación es  −∞ ; 0,1 + 2,05 ⋅  140 

 =  

= ( −∞ ; 0,15 ) .

Como pˆ = 0,15 ∈ ( −∞; 0,152 ) , se acepta la hipótesis nula de que el nuevo provoque los mismos efectos secundarios que el antiguo.

OPCIÓN B 1.

Calcula la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidos en tres lanzamientos consecutivos de un dado cúbico sea cinco. Sea X = {(a,b,c): a, b y c son los resultados de tirar el dado en el 1.º, 2.º y 3.er lanzamiento, respectivamente} Podemos aplicar la definición de probabilidad de Laplace para el problema, esto es, P (a + b + c = 5) =

casos favorables casos posibles

Para calcular los casos posibles, solo hemos de tener en cuenta que los resultados de lanzar un dado tres veces son independientes entre sí y que hay 6 posibles resultados, luego los casos posibles son 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 216 .

Los casos favorables son cuando salen dos unos y un tres (en total, tres casos: {1,1,3}, {1,3,1}, {3,1,1}) y cuando salen un uno y dos doses (en total, tres casos: {1,2,2}, {2,1,2}, {2,2,1}); en total, 6 casos. Luego la probabilidad pedida es: P (sume 5) =

120

casos favorables 6 1 = = casos posibles 216 36

Solucionario

2.

Sean A y B dos sucesos tales que P(A∪B) = 0,9; P( A ) = 0,4, donde A denota el suceso contrario o complementario del suceso A, P(A∩B) = 0,2. Calcula las probabilidades siguientes: a) P(B)

c) P ( A ∩ B)

b) P(A/B)

d) P ( A ∪ B)

Como P (A) = 1 − P ( A ) = 1 − 0,4 = 0,6 y P ( A ∪ B ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∩ B ) , entonces: P (B ) = P (A ∪ B ) + P (A ∩ B ) − P (A ) = 0,9 + 0,2 − 0,6 = 0,5 P( A B) =

P (A ∩ B ) 0,2 = = 0,4 P (B ) 0,5

P ( A ∩ B ) = P (A ) − P (A ∩ B ) = 0,6 − 0,2 = 0,4 P ( A ∪ B ) = P ( A ∩ B ) = 1 − P (A ∩ B ) = 1 − 0,2 = 0,8

3.

La probabilidad de que un chico sea elegido para formar parte de un coro es de 0,42, mientras que la probabilidad de que sea elegida una chica es de 0,55. Entre los aspirantes se elige al azar a un chico y una chica. Halla la probabilidad de que: a) Los dos formen parte del coro. b) Ninguno de los dos forme parte del coro. c) Solo forme parte del coro la chica. d) Al menos uno forme parte del coro.

Sean A y B los sucesos A = “el chico forme parte del coro” y B = ”la chica forme parte del coro”, respectivamente. Estos dos sucesos son independientes y las probabilidades pedidas son: P(los dos formen parte del coro) = P ( A ∩ B ) = P (A ) ⋅ P (B ) = 0,42 · 0,55 = 0,231

( ) ( ) P(solo la chica forme parte del coro) = P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) = 0,58 · 0,55 = 0,319 P(ninguno forme parte del coro) = P ( A ∩ B ) = P A ⋅ P B = 0,58 · 0,45 = 0,261

P(al menos uno forme parte del coro) = 1 – P(ninguno forme parte del coro) = 1 – 0,261 = 0,739

4.

 k si 1 ≤ x < 3  Calcula el valor que ha de tomar k para que la función f(x) = 2 k si 3 ≤ x < 6 sea de distribución.  0 en el resto 

Para ese valor, halla P(2 ≤ X < 5). Para que f(x) sea una función de distribución de una variable discreta se tiene que cumplir que: P ( X = 1) + P ( X = 2) + P ( X = 3 ) + P ( X = 4 ) + P ( X = 5 ) = 1 (pues la función es nula en el resto de los valores de X)

 k + k + 2k + 2k + 2k = 1  8k = 1  k =

1 8

La función de distribución será entonces: 1  8 si 1 ≤ x < 3  1 si 3 ≤ x < 6 f (x) =  4  0 en el resto 

y, por tanto, la probabilidad pedida es: P ( 2 ≤ X < 5) = P ( X = 2) + P ( X = 3 ) + P ( X = 4 ) =

Solucionario

121

1 1 1 5 + + = 8 4 4 8

Solucionario 5.

La altura de los habitantes de una ciudad se distribuye de manera normal con una media de 168 cm y una desviación típica de 8 cm. Si el Ayuntamiento de esa ciudad dice que el 6% de los habitantes “son altos”, ¿qué estatura debe tener una persona para ser considerada alta? Sea X la altura de los habitantes de la ciudad que siguen la distribución normal: X ~ N(168, 8). Buscar a partir de qué altura van a ser altos los habitantes es lo mismo que buscar un k tal que P(X < k) = 0,94: k − 168  k − 168  P(X < k ) = P Z < = 1,555  k = 180,44 cm  = 0,94  8 8   Por tanto, un habitante será considerado alto si mide más de 1,80 m.

6.

Tres de cada ochenta móviles que salen de una fábrica están defectuosos. Un gran almacén compra 500 de esos móviles. Calcula la probabilidad de que más del 3% estén defectuosos. La proporción de móviles defectuosos es p =

3 = 0,0375 . 80

La distribución de la proporción de móviles defectuosos en la muestra sigue aproximadamente una normal   p ⋅ (1 − p )  0,0375 ⋅ 0,9625   = N  0,0375 ; Pˆ = N  p ;  = N ( 0,0375 ; 0,0085 ) .     500 n     Entonces, la probabilidad pedida es: 0,03 − 0,0375   P Pˆ > 0,03 = 1 − P Pˆ < 0,03 = 1 − P  Z <  = 1 − P ( Z < − 0,88 ) = P ( Z < 0,88 ) = 0,8106 . 0,0085  

(

7.

)

(

)

En una ciudad residen 1250 familias. Se seleccionó una muestra aleatoria de un 20% de ellas y se les preguntó si disponían de gas natural en su vivienda. Sabiendo que todas las familias seleccionadas respondieron y que se obtuvo un total de 75 respuestas afirmativas: a) ¿Qué estimación puntual podríamos dar para el porcentaje de familias de esa ciudad que disponen de gas natural en su vivienda? b) ¿Qué error máximo cometeríamos con dicha estimación puntual con un nivel de confianza del 95%? Justifica las respuestas. a) El tamaño de la muestra es: 1250 · 0,20 = 250 familias. 75 = 0,30. La proporción de familias con gas natural en su vivienda en la muestra es pˆ = 250

Por tanto, una estimación puntual para el porcentaje sería del 30%. b) El error máximo admitido viene dado por la siguiente expresión: E = zα 2

pˆ (1 − pˆ ) , donde n = 250, pˆ = 0,30 y z α = 1,96, ya que 1 – α = 0,95 n 2

Por tanto, E = 1,96

8.

0, 30 · 0, 70 = 0,057, entonces se puede cometer un error máximo del 5,7%. 250

La duración de las bombillas de 100 vatios que fabrica una empresa sigue una distribución normal con una desviación típica de 120 horas. Su vida media está garantizada durante un mínimo de 800 horas. Se recoge al azar una muestra de 50 bombillas de un lote y, después de comprobarlas, se obtiene una vida media de 750 horas. Con un nivel de significación de 0,01, ¿habría que rechazar el lote por no cumplir la garantía? Del enunciado se deduce que α = 0,01, n = 50, x = 800, μo = 750, σ = 120. H : μ = 750 Se plantea un contraste de hipótesis bilateral para la media poblacional:  0 0 Ha : μ0 ≠ 750 Como α = 0,01  1 – α = 0,99  z α = 2,575. La región de aceptación es (–2,575; 2,575). 2

x − μo 800 − 750 El estadístico de contraste es Z = = = 2,946. 120 σ n

50

Como 2,946 ∉ (–2,575; 2,575), se rechaza la hipótesis nula. Luego no podemos aceptar el lote.

122

Solucionario

Hacia la universidad

Pruebas globales

PRUEBA GLOBAL 1 Opción A 1.

(1,5 puntos) En un almacén de productos perecederos disponen de 70 cajas de naranjas, 120 cajas de peras y 110 cajas de manzanas que quieren colocar antes de que no estén aptas para el consumo. Para vender las existencias se hacen dos tipos de lotes: el lote A contiene una caja de naranjas, dos de peras y una de manzanas, y se venderá a 6 euros, y el lote B contiene una caja de naranjas, una de peras y dos de manzanas, y se venderá a 7 euros. Calcula cuántos lotes deberán hacer de cada tipo para que los ingresos por las ventas sean máximos. Lote A Lote B

Número de lotes x y

Cajas de naranjas x y < 70

Cajas de peras Cajas de manzanas 2x x 2y y < 120 < 110

Beneficios 6x € 7y € 6x + 7y

Por tanto, tenemos que maximizar la función f ( x, y ) = 6 x + 7 y sujeta al siguiente sistema de restricciones:

 x + y ≤ 70  2 x + y ≤ 120  x + 2y ≤ 110  x ≥ 0 y ≥ 0 La región factible es el interior del polígono ABCDO, donde los vértices son:

{ x + 2y = 110  B ( 30, 40 ) B { x + y = 70

Y

x = 0 A  A ( 0, 55 )  x + 2y = 110

x =0 O  O ( 0, 0 ) y =0

x + y = 70

A

x + 2y = 110 2x + y = 120

B

{

x + y = 70 C  C ( 50, 20 ) 2 x + y = 120

C

2 x + y = 120 D  D ( 60, 0 ) y = 0

10 O 10 6x + 7y = 0 D X

Ahora tenemos dos maneras distintas de proceder: GRÁFICAMENTE. Como los coeficientes de la función objetivo son positivos, el máximo se encuentra en el último vértice que tocan las rectas paralelas 6 x + 7 y = k cuando se desplazan hacia la parte positiva del eje Y. En este caso, el máximo se encuentra en el punto B(30, 40), es decir, se deberán hacer 30 lotes A y 40 lotes B, y se conseguirán unos ingresos de 460 €. ANALÍTICAMENTE. El valor de la función objetivo en los vértices es: fO (0, 0) = 0 € , fA (0, 55) = 385 € , fB (30, 40) = 460 € , fC (50, 20) = 440 € , fD (60, 0) = 360 € El máximo se alcanza en B(30, 40), igual que al hacerlo gráficamente.

2.

( )

(1,5 puntos) La matriz A = aij a) Escribe la matriz A. 0 a) La matriz es A =  3  5

0 4 4

si i = j = 1 0  i, j ≠ 1 es cuadrada de orden 3 y verifica que aij =  i + j si i = j  2i − j si i ≠ j b) Halla el rango de A. c) Halla la matriz inversa de A.

−1 1 .  6

0 b) Su determinante es A = 3 5

0 4 4

−1 1 = 8 ≠ 0 , luego rg(A) = 3. 6

c) Calculemos su matriz inversa:

A −1 =

 20 1 1 t ⋅ ( Adj( A)) =  −4 8  A  4

−13 5 −3

t

−8   20 1 0  =  −13  8  0   −8

Solucionario

−4 5 0

 5  4  2 13 −3  =  −   8 0  −1  

123

−

1 2 5 8 0

1 2  3 −  8 0  

Solucionario 3. (1,5 puntos) La función y = f(x) tiene las siguientes propiedades: • Su dominio es la recta real salvo los puntos x = –1 y x = 1. Es continua en todo su dominio y corta al eje X en el punto (2, 0). • Tiene una asíntota horizontal en y = 0, con f(x) > 0 si x < 2 y f(x) < 0 si x > 2, x ≠ 1, x ≠ –1. • Tiene una asíntota vertical en x = 1, con lim+ f ( x ) = +∞ y lim− f ( x ) = +∞ . x →1

x →1

• Tiene una asíntota vertical en x = –1, con lim+ f ( x ) = +∞ y lim− f ( x ) = +∞ . x →−1

x →−1

• Tiene un mínimo en (4, –2) y otro en (0, 3). No tiene máximos. a) Representa gráficamente dicha función. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Y Observando la gráfica de la función, vemos que: La función es creciente en (–∞, –1) ∪ (0, 1) ∪ (4, +∞). La función es decreciente en (–1, 0) ∪ (1, 4).

1 O

X

1

 −1  4. (1,5 puntos) Sea la función f ( x ) =  x 2 x 

si

−∞ < x ≤ −1

si si

−1 < x < 1 . Determina: 1 ≤ x < +∞

a) Si es continua en los puntos x = –1, x = 1. b) Si es derivable en los puntos anteriores. c) La recta tangente, si es que existe, en el punto x = 0, y la recta tangente, si es que existe, en el punto x = 1. d) El área encerrada por la función f(x), la recta y = 0 y la recta x = 3.

Para ver si la función es continua en esos puntos debemos estudiar los límites laterales, comprobar que son iguales entre sí e iguales al valor de la función en ese punto. Para x = –1: f ( −1) = −1; lim f ( x ) = lim − 1 = −1; lim f ( x ) = lim x 2 = 1  Puesto que los límites laterales no x →−1−

x →−1−

x →−1+

x →−1+

coinciden y son finitos, presenta una discontinuidad no evitable de salto finito. Para x = 1: f (1) = 1; lim f ( x ) = lim x 2 = 1; lim f ( x ) = lim x = 1  La función es continua en x = 1. x →1−

x →1−

x →−1+

x →−1+

Como la función no es continua en x = –1, no puede ser derivable. Veamos si es derivable en x = 1. f (1 − h ) − f (1) (1 − h )2 − 1 −2h + h 2 f (1 + h ) − f (1) 1+ h − 1 = lim = lim = 2 , f ´(1+ ) = lim = lim =1 h →0 h →0 h →0 h →0 h →0 −h −h −h h h

f ´(1− ) = lim

Como las derivadas laterales son distintas, la función no es derivable en x = 1. La ecuación de la recta tangente en x = 0 es y − f (0) = f ´(0) ⋅ ( x − 0) . Ahora, como f(0) = 0 y f'(0) = 0, la ecuación de la recta tangente a la función en x = 0 es y = 0. En x = 1, como la función no es derivable, no tiene recta tangente. El área se calcula sumando dos integrales:



1 0

2

x dx +



3 1

1

Y f 1

3

 x3   x2  1 9 1 13 2 x dx =   +   = + − = u 3 2 3 2 2 3   0  1

124

O

Solucionario

1

X

5. (2 puntos) En una urna hay seis bolas numeradas, tres de ellas con números positivos, y otras tres con números negativos. Se extrae una bola y después otra sin reemplazamiento. a) Calcula la probabilidad de que el producto de los números sea positivo. b) Calcula la probabilidad de que el producto de los números sea negativo.

3 6

3 5

–

3 5

+

2 5

–

–

1 1 2 + = 5 5 5

b) P ( resultado negativo ) = P ( + − ) + P ( − + ) =

6.

+

+

3 6

a) P ( resultado positivo ) = P ( + + ) + P ( − − ) =

2 5

3 3 3 + = 10 10 5

(2 puntos) En una población escolar se ha comprobado que la estatura sigue un modelo normal de probabilidad. A partir de una muestra de 81 escolares de dicha población se ha calculado una estatura media de 159 cm y una cuasivarianza de 169 cm². Teniendo en cuenta esta información: a) Determina el error máximo que cometeríamos, con una confianza del 99%, si estimamos en 159 cm la estatura media en esa población escolar. b) ¿Podríamos rechazar, con un nivel de significación del 5%, la hipótesis de que la estatura media en esa población es de 160 cm? a) El error máximo admisible viene dado por la expresión E = ± z α ⋅

sˆ

, y puesto que el nivel de significación n es del 99%, z α = 2,575 , tendremos que el error máximo admisible es: 2

2

E = ±2,575

13 81

= ±3,719

b) Se trata de un contraste de hipótesis bilateral para la media. Hipótesis nula: Ho = μo = 160 cm Hipótesis alternativa: Ha = μo ≠ 160 cm Si α = 0,05  1 – α = 0,95  z α = 1,96 , luego la región de aceptación es (–1,96; 1,96). 2

El estadístico de contraste es Z =

x − μ0 159 − 160 = = −0,692 . 13 sˆ n

81

Como –0,692 ∈ (–1,96; 1,96), aceptamos la hipótesis nula, por lo que aceptamos la hipótesis de que la estatura media es de 160 cm con un nivel de significación del 5%, lo cual quiere decir que hay una probabilidad del 95% de que la media esté en ese intervalo.

Solucionario

125

Solucionario Opción B 1.

(1,5 puntos) Estudia el siguiente sistema según los diferentes valores del parámetro m y resuélvelo en el caso de que tenga infinitas soluciones.  x + my + z = 4   − x + 2mz = 0  − x + 4 y + 14 z = 8 

 x + my + z = 4  1 m  Las matrices asociadas al sistema − x + 2mz = 0 son A =  − 1 0  − x + 4 y + 14z = 8 − 1 4 

1   1 m 2m  y A * =  − 1 0   14  −1 4

1 2m 14

4 0  8

A = −4 − 2m 2 − 8m + 14m = −2m 2 + 6m − 4; − 2m 2 + 6m − 4 = 0  m = 1, m = 2

Si m ≠ 1 y m ≠ 2  rg (A) = 3 = rg (A*) = 3 = número de incógnitas  Sistema compatible determinado  Tiene 8m  una única solución   x = 1− m  1 1 1 Si m = 1   −1 0 2   −1 4 14

,y =

12 4  ,z = m −1 1 − m 

4  F2 :F1 + F2  1 1 1 4  1 1 1 F3 : F1 + F3 F3 :5 F2 − F3 →0 1 3 →0 1 3 0  ⎯⎯⎯⎯⎯ 4  ⎯⎯⎯⎯⎯     8   0 5 15 12  0 0 0

4 4   rg(A) = 2 ≠ rg(A*) = 3   8 

Sistema incompatible  No tiene solución. 1 2 1 Si m = 2   −1 0 4   −1 4 14

4  F2 :F1 + F2  1 F3 : F1 + F3 →0 0  ⎯⎯⎯⎯⎯   8 0

1 1 4 1 1 1 F3 :3 F2 − F3 →0 1 3 2 5 4  ⎯⎯⎯⎯⎯   6 15 12  0 0 0

4 4   rg(A) = 2 = rg(A*)   0 

3 5  Sistema compatible indeterminado  Infinitas soluciones  x = 2 + λ, y = 2 − λ, z = λ con λ número real. 2 2 

2.

a (1,5 puntos) Comprueba que no existe ninguna matriz del tipo X =  1

0 2 que conmute con A =  a  1

0 . −2 

Supongamos que sí hay una matriz X de ese tipo que conmuta con la matriz A, esto es, que AX = XA . 2 AX =  1

0   a 0   2a = −2   1 a   a − 2

0  a 02 = XA =   −2a   1 a1

0   2a = −2   2 + a

0   Igualando uno a uno cada −2a 

miembro de las matrices: 2 + a = a − 2  2 = –2  No hay solución.

3.

(1,5 puntos) Cada mes, una empresa decide el gasto en publicidad basándose en los beneficios que espera obtener en dicho mes. Para ello usa la siguiente función, donde G es el gasto en publicidad (en cientos de euros), y x, los beneficios esperados (en miles de euros):  x2 0≤ x ≤9 6 + 2 x − 6 G( x ) =  3 + 75 x + 5 400 x > 9 10 x 2 

a) ¿Es el gasto en publicidad una función continua del beneficio? b) Indica cuándo crece y cuándo decrece el gasto. c) Por muchos beneficios que espere, ¿el gasto llegará a ser inferior a 4 (cientos de euros)? a) El único punto que ofrece dudas es el de abscisa x = 9. Estudiemos, pues, sus límites laterales y el valor de  75 x + 5 400  x2   la función: lim G( x ) = lim  6 + 2 x −  = 10,5 ; lim+ G( x ) = lim+  3 +  = 10,5 ; G(9) = 10,5 − − 6 x →9 x →9  x →9 x →9  10 x 2  

Por tanto, lim− G( x ) = G(9) = 10,5 , lo que nos asegura que G(x) es una función continua. x →9

x →9 +

126

Solucionario

b) Debemos trabajar con la derivada de G(x), siendo x ≠ 9 : x  0≤x 9  2x 3 Si 0 ≤ x < 9 , 2 − Si x > 9,

x = 0  x = 6 , y entonces, el gasto G(x) crece en [0, 6) y decrece en (6, 9). 3

−15 x − 2160 es siempre negativa y, por tanto, el gasto G(x) es decreciente en (9, + ∞ ) . 2x 3

75 x + 5 400   c) Calculando el límite en más infinito vemos que lim G( x ) = lim  3 +  = 3 cientos de euros. x →+∞ x →+∞  10 x 2  Así pues, los gastos (que son decrecientes a partir de 9000 euros) serán inferiores a 400 euros, pero nunca inferiores a 300.

4.

(1,5 puntos) Se considera la función real definida por f ( x ) =

x2 + 2 , x ≠ ±2. x2 − 4

a) Determina las asíntotas de f. b) Calcula los máximos y mínimos relativos y determina sus intervalos de crecimiento. c) Calcula la integral definida

5

 (x

2

3

)

− 4 f ( x )dx .

 x2 + 2 = 1+  xlim →∞ x 2 − 4  Asíntota horizontal en y = 1 a) Asíntota horizontal:  2  lim x + 2 = 1+  x →−∞ x 2 − 4 Asíntota vertical: Los puntos que no pertenecen al dominio son –2 y +2, y es en ellos donde tenemos que estudiar los límites.

 x2 + 2 6 = = +∞  lim − 2  x →−2 x − 4 0 + En x = −2 :   A. V. en x = −2 2  lim x + 2 = 6 = −∞  x →−2+ x 2 − 4 0 −   lim−  En x = 2 :  x →2  lim  x →2+

x2 + 2 6 = − = −∞ 2 x −4 0  A. V. en x = 2 6 x2 + 2 = = +∞ x 2 − 4 0+

Asíntota oblicua: Puesto que es una función racional y tiene asíntotas horizontales, no puede tener asíntota oblicua. y=

x2 + 2 −12 x  y ´= x2 − 4 x2 − 4

(

)

2

 y ´´= −12 x

36 x 2 + 48

(x

2

−4

)

3

1 48 3 = 0 ⇔ x = 0  y ´´(0 ) = = − < 0  en (0, – ), la función 2 − 64 4 2 −4 tiene un máximo. Estudiemos el signo de la derivada para ver el crecimiento y el decrecimiento:

b) Máximos y mínimos: y ´= 0 ⇔

( −∞ , − 2 ) ∪ ( −2 , 0 ) :

−12 x > 0

( 0,2 ) ∪ ( 2, ∞ ) : −12x < 0 c)

 (x 5

3

2

)

− 4 f ( x ) dx =



5 3

y

(x

2

y

)

( x 2 − 4)2 > 0

( x 2 − 4)2 > 0

 y ´=

 y ´=

(x

−12 x

(x

2

−12 x

−4

)

5

 x3  110 2 x 2 + 2 dx =  + 2x  = u 3 3 3

Solucionario

2

127

2

−4

)

2

> 0  La función es creciente.

< 0  La función es decreciente.

Solucionario 5.

(2 puntos) Dos sucesos tienen la misma probabilidad: 0,5. La probabilidad de que ocurra uno de los sucesos sabiendo que ha ocurrido el otro es igual a 0,3. ¿Cuál es la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos?

Sean A y B los dos sucesos, los datos que nos dan en el enunciado son: P (A ) = P (B ) = 0,5 y P (A B ) = 0,3  P ( A ∩ B ) = P ( A B ) P ( B ) = 0,3 ⋅ 0,5 = 0,15 Con lo que la probabilidad pedida es:

(

)

(

)

P A ∩ B = P A ∪ B = 1 − P (A ∪ B ) = 1 − (P ( A ) + P (B ) − P (A ∩ B )) = 1 − (0,5 + 0,5 − 0,15 ) = 0,15 6.

(2 puntos) El peso de los bebés al nacer sigue una ley normal de media µ = 3200 gramos y desviación típica σ = 312 gramos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un niño pese más de 3,4 kg al nacer? b) Para una muestra de 169 niños, ¿cuál es la probabilidad de que el peso medio sea inferior a 3150 g? c) Encuentra el intervalo donde se encuentra el 95% de todos los pesos medios de las muestras de 169 recién nacidos.

a) La variable X = “peso de los recién nacidos” sigue una distribución normal N(3200, 312) que se tipifica X − 3 200 mediante el cambio Z = . Por tanto, 312 3 400 − 3 200   P ( X > 3 400 ) = 1 − P ( X < 3 400 ) = 1 − P  Z ≤  = 1 − P (Z ≤ 0,64 ) = 1 − 0,7389 = 0,2611 312   b) La media de las muestras de tamaño n obtenidas en una población N(μ, σ) se distribuye según una  σ  N  μ, . En este caso, la media de peso de los 169 niños sigue una distribución normal  n    312  N  3 200, = N (3 200; 24 ) . Por tanto:  169   3150 − 3 200   P X ≤ 3150 = P  Z ≤  = P (Z ≤ −2,08 ) = 1 − P (Z ≤ 2,08 ) = 1 − 0,9812 = 0,0188 24  

(

)

c) Los datos del enunciado son: x = 3200, σ = 312, 1 – α = 95%  z α = 1,96. 2

El intervalo de confianza para el peso medio vendrá dado por:  σ σ   312 312  IC =  x − zα , x + zα ; 3200 + 1,96  = ( 3152,96; 3247,04 )  =  3200 − 1,96 2 2 n n 169 169   

PRUEBA GLOBAL 2 Opción A 1.

 x (1,5 puntos) Sean las matrices A =   2x

y   −1 2  , B=  , C = (2 − y   2 −2 

 −16  −2 ) y D =  .  16 

Estudia y resuelve el sistema de ecuaciones lineales A B Ct = D.

 x ABC t =   2x

y   −1 2   2   − x + 2y = − y   2 −2   −2   −2 x − 2y

2 x − 2y   2   −6 x + 8 y  =  4 x + 2y   −2   −12 x − 8 y 

−6 x + 8 y   −16  −6 x + 8 y = −16     − 12 x − 8 y = 16  Sistema compatible determinado con solución: x = 0, y = –2. =  − 12 x − 8 y   16  

128

Solucionario

2.

(1,5 puntos) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 27 y 36 cm, respectivamente. Con centro en los vértices del triángulo, se trazan tres circunferencias de forma que son tangentes exteriores dos a dos, tal y como aparecen en la figura. Calcula los radios de las tres circunferencias.

Puesto que es un triángulo rectángulo, cumple el teorema de Pitágoras: h 2 = C 2 + c 2 = 36 2 + 27 2 = 2025  h = 45 . Esto es, la hipotenusa mide 45 cm. Sean x, y y z los respectivos

radios de las tres circunferencias. En estas condiciones se puede plantear el sistema:  x + y = 27   y + z = 36 ⇔  x + z = 45 

 x + y = 27   y + z = 36  x = 18, y = 9, z = 27 2z = 54 

Los radios miden 9, 18 y 27 cm, respectivamente.

3.

(1,5 puntos) En una factoría, la función de costes es C ( x ) = x 3 − 3ln x , donde x > 0 es el número de toneladas que se producen. a) Calcula el coste mínimo, si existe, y el número de toneladas que se han de producir para alcanzar dicho coste. b) Si la función de ingresos es I ( x ) = x 3 + 12 x , escribe la función de beneficios. c) Calcula los intervalos en los que la función de beneficios es creciente o decreciente, e indica si existe beneficio máximo y, en caso afirmativo, el número de toneladas que se han de producir para alcanzar dicho beneficio.

a) Analicemos su derivada C ′( x ) = 3 x 2 − C ′( x ) = 0  3 x 2 −

3 y veamos dónde se anula: x

3 = 0  3 x 3 = 3  x = 1. x

Estudiemos el signo de la derivada y comprobemos si en efecto es un mínimo: x Signo de C' Comportamiento de C

(0, 1) – Decreciente

1 =0 Mínimo relativo

(1, +∞ ) + Creciente

Como la función es continua, este mínimo relativo lo es también absoluto. Así pues, el mínimo se encuentra en el punto A(1, C(1)) = A(1, 1). Es decir, si se produce una tonelada, se consigue el coste mínimo, que es de una unidad monetaria. b) Los beneficios son iguales a los ingresos menos los costes. Por tanto, la función beneficio será:

(

)

B( x ) = I ( x ) − C( x ) = x 3 + 12 x − x 3 − 3 ln x = 12 x + 3 ln x 3 , que no se anula jamás en el intervalo donde está x definida la función, y en él siempre es positiva. Así pues, la función beneficios es siempre creciente y no tiene máximo.

c) La derivada de la función beneficios es B ′( x ) = 12 +

Solucionario

129

Solucionario 4.

(1,5 puntos) Se considera la curva de ecuación cartesiana y = x 2 + 8 x . a) Calcula las coordenadas del punto en que la recta tangente a la curva es paralela a la recta y = 2x. b) Calcula el área del recinto plano acotado limitado por las gráficas de la curva dada y de la recta de ecuación cartesiana y = x + 8. Sea (a, f(a)) el punto en el que la tangente a la curva es paralela a la recta y = 2x. Como la pendiente de la recta

y = 2x es 2, la derivada de y = x 2 + 8 x en x = a también debe valer 2: y ′ = 2 x + 8  2a + 8 = 2  a = −3 . El punto de tangencia es A(−3, f ( −3)) = A( −3, − 15 ) . Primero debemos calcular los puntos de corte de ambas gráficas, resolviendo su sistema:

Y

y = x + 8 x  x = −8 y x = 1  y = x + 8

5

2

Los puntos de corte son, pues, el (–8, 0) y el (1, 9). Dibujando el recinto se observa que la recta va por encima, y la parábola, por debajo. Así pues, el área pedida será la integral:

 ( 1

−8

5.

)

x + 8 − ( x2 + 8x ) dx =

 ( 1

−8

O

5

X

1

 x 3 7x 2  243 2 − x2 − 7x + 8 dx = − − + 8x  = u 3 2 2   −8

)

(2 puntos) En una ciudad existen dos institutos, el Alfa y el Beta. Se sabe que el 70% de los estudiantes de la ciudad van al Alfa, y el resto, al Beta. En una encuesta se ha detectado que al 60% de los alumnos del Alfa les gustan las matemáticas, mientras que en el Beta solo le gustan al 35% de los estudiantes. a) Calcula la probabilidad de que a un alumno elegido al azar le gusten las matemáticas. b) Sabiendo que a un alumno elegido al azar le gustan las matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que sea del instituto Alfa? c) Sabiendo que a un alumno elegido al azar no le gustan las matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que sea del instituto Beta? Sean M, α y β los sucesos: M = “al alumno le gustan las matemáticas” 70 100

α = “el alumno pertenece al instituto α”

a) P ( M ) = P ( M α ) P ( α ) + P ( M β) P ( β) = 0,60 ⋅ 0,70 + 0,35 ⋅ 0,30 = 0,525 b) P ( α M ) =

(

)

c) P β M =

6.

P (M )

(

P β∩M

( )

P M

=

P (M α) P (α ) P (M )

0, 60 ⋅ 0,70 = = 0,8 0,525

30 100

) = P ( M β ) P (β ) = 0, 65 ⋅ 0,30 = 0, 41 1 − P (M )

M

40 100

M

35 100

M

65 100

M

α

β = “el alumno pertenece al instituto β” Las probabilidades pedidas son: P (α ∩ M )

60 100

β

1 − 0,525

(2 puntos) De una muestra de 400 jóvenes españoles de 25 años elegidos al azar, solo 60 no vivían con sus padres. Determina un intervalo con un nivel de confianza del 95% para el porcentaje de los jóvenes españoles que no viven con sus padres a los 25 años. 60 Del enunciado se deduce: n = 400, pˆ = = 0,15, α = 0,05  z α = 1,96. 400 2

El intervalo de confianza para la proporción poblacional es:  IC =  pˆ − zα  2 

pˆ (1 − pˆ ) , pˆ + z α 2 n

 pˆ (1 − pˆ )  0,15 ⋅ 0,85 0,15 ⋅ 0,85  =  0,15 − 1,96 ; 0,15 + 1,96   n 400 400  

  = (0,115; 0,185)  

El porcentaje de la población de jóvenes de 25 años que no viven con sus padres está entre el 11,5% y el 18,5%, con un nivel de confianza del 95%

130

Solucionario

Opción B 1.

(1,5 puntos) Calcula el máximo y el mínimo de la función f(x, y) = x + 1,2y sujeto a las siguientes restricciones: 30 x + 40 y ≥ 180 9 x + 12 y ≤ 72   2 y ≥ x  y ≤ 3

La región factible es el interior del polígono ABCD. Y

A

B D

1 O

C X

1

Los vértices de la región factible son: y = 3 A:   x = 2, y = 3  A ( 2,3 ) , 3 x + 4 y = 18

24 12 3 x + 4 y = 24  24 C:  ,y = , x=  C 5 5  5 2 y = x

y = 3 B:   x = 4, y = 3  B ( 4, 3 ) 3 x + 4 y = 24

12  , 5 

18 9 3 x + 4 y = 18  18 D:  , y =  D , x= 5 5  5 2 y = x

9 5 

El valor de la función objetivo en los vértices es: zA = 5,6 zB = 7,6 zC = 7,68 zD = 5,76 El mínimo se alcanza en A: x = 2, y = 3, y vale z = 5,6. El máximo se alcanza en C: x = 4,8, y = 2,4, y vale z = 7,68.

2.

 −2 1  3 (1,5 puntos) Dadas las matrices A =   y B = 2 1 3 −   

−2  : 4 

2 2 –1 a) Calcula A y (A ) .

b) Calcula la matriz X tal que A2 X = B.

 −2 1   −2 1   3 1  a) A =   =  y su matriz inversa es:  −1 3   −1 3   −1 8  2

(A )

2 −1

 8  =  25  1   25

1   25  3   25 

−

b) Como X verifica que A2 X = B , multiplicando por la matriz inversa de A 2 y teniendo en cuenta que la multiplicación de matrices no es conmutativa:  8  ( A ) A X = ( A ) B  X = ( A ) B =  25  1   25 2 −1

2

2 −1

2 −1

1  25   3 3   2  25 

−

Solucionario

 22 −2   25 = 4   9   25

131

4 5  2   5 

−

Solucionario 3.

x + 2  (1,5 puntos) Dada la función f ( x ) =  x 2 − 6 x + 12  −2 x + a 

si

0≤ x