Función logarítmica Función logarítmica y su representación Si 𝑎 > 0 y 𝑎 ≠ 0, la función exponencial 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 bien se incrementa o disminuye y por eso mediante la prueba de la línea horizontal es uno a uno. Debido a eso tiene una función inversa 𝑓 −1 , a la cual se le da el nombre de función logarítmica con base a y se denota mediante 𝑙𝑜𝑔𝑎 . Si utiliza la formulación de una función inversa dada por (3). 𝑓 −1 = 𝑦 ⟺ 𝑓 𝑦 = 𝑥 Luego tiene: log 𝑎 𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑎 𝑦 = 𝑥 De ese modo, si x>0, en tal caso log 𝑎 𝑥 es el exponente al cual debe elevarse la base 𝑎 para dar 𝑥. Por ejemplo: log10 0.001 = −3 Porque:

10−3 = 0.001

Las ecuaciones de cancelación cuando se aplican las funciones 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 y 𝑓 −1 = log 𝑎 𝑥, se convierten en: log 𝑎 (𝑎)𝑥 = 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥 ⋹ ℝ 𝑎log 𝑎 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑥 > 0 La función logarítmica 𝑙𝑜𝑔a tiene dominio (0, ∞) e intervalo ℝ. Su grafica es el reflejo de la gráfica de 𝑦 = 𝑎 𝑥 respecto a la línea 𝑦 = 𝑥. Ejemplo. Convertir 7𝑥 = 16807 a su forma logarítmica. Observando la ecuación exponencial anterior se tiene que: 𝑎=7 𝑁 = 16807 Siguiendo la definición se tiene que: 77 = 16807 → 𝑥 = log 7 16807

Ejemplo. Convertir log 8 262144 = 6 a su forma exponencial 𝑎=8 𝑁 = 262144 𝑥=6 Por lo cual se obtiene: log 8 262144 = 6 → 86 = 262144 Propiedades de los logaritmos (Inherentes a su definición, Operativas) Leyes de los logaritmos. Si 𝑥 y 𝑦 son números positivos, entonces: 1. log 𝑎 𝑥𝑦 = log 𝑎 𝑥 + log 𝑎 𝑦 𝑥

2. log 𝑎 ( 𝑦 ) = log 𝑎 𝑥 − log 𝑎 𝑦

3. log 𝑎 (𝑥 𝑟 ) = 𝑟 log 𝑎 𝑥 (donde 𝑟 es cualquier número real). Ejemplo. Utilizaremos las leyes de los logaritmos para pasar a su forma exponencial lo siguiente. log 2 80 − log 2 5 Al usar la ley 2, se tiene: log 2 80 − log 2 5 = log 2

80 = log 2 16 = 4 5

Por que 24 = 16 Dentro de las funciones logarítmicas, se tienen dos comportamientos diferentes, de acuerdo al valor de la base 𝑎. Cuando 𝑎 > 1 las funciones tienen las siguientes propiedades: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Su dominio son lo numero reales positivos. Rango son los números naturales. Son funciones continuas y creciente en todos sus dominios. Sus gráficas pasan por los puntos (1, 0) (a, 1). La recta x= 0 es una asíntota vertical. La función es negativa para los valores de para los valores de 𝑥 menores que 1.

7. La función es positiva para valores de 𝑥 mayores que 1. Para demostrar lo anterior, se muestran tres funciones con 0 < 𝑎 < 1. 𝒙

𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠 𝟏/𝟏𝟎 𝒙

𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠 𝟏/𝟐 𝒙

𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠 𝟐/𝟑 𝒙

0.2 0.5 0.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.69897 0.30103 0.09691001 0 -0.30103 -0.47712125 -0.60205999 -0.69897 -0.77815125 -0.84509804 -0.90308999 -0.95424251 -1

2.32192809 1 0.32192809 0 -1 -1.5849625 -2 -2.32192809 -2.5849625 -2.80735492 -3 -3.169925 -3.32192809

3.9693623 1.70951129 0.55033971 0 -1.70951129 -2.70951129 -3.41902258 -3.9693623 -4.41902258 -4.79920494 -5.12853387 -5.41902258 -5.67887359

Por el hecho de ser la función logarítmica inversa de la función exponencial, se desprenden algunas propiedades.

Por el hecho de ser la función logarítmica inversa de la función exponencial, se desprenden algunas propiedades: 1. 2. 3. 4.

𝑎log 𝑏 𝑥 = 𝑥 log 𝑎 𝑏 𝑦 = 𝑦 log 𝑎 1 = 0 log 𝑎 𝑎 = 1

Al algoritmo con base 𝑒 se le llama logaritmo natural y tiene una notación natural. log 𝑒 𝑥 = ln 𝑥

Si pone a = e y se sustituye log 𝑒con 𝑙𝑛, las propiedades definitorias de la función logaritmo natural se convierten en: ln 𝑥 = 𝑦 ⟺ 𝑒 𝑦 = 𝑥 ln(𝑒 𝑥 ) = 𝑥

𝑥 ⋹ℝ

𝑒 ln 𝑥 = 𝑥 𝑥 > 0 En particular si se establece que 𝑥 = 1, obtiene: ln 𝑒 = 1 Ejemplo encontrar 𝑥 si ln 𝑥 = 5 Observe que: ln 𝑥 = 5 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑒 5 = 𝑥 Por lo tanto, 𝑥 = 𝑒5 Propiedades y técnicas de resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas

A continuación se presenta la solución de algunas ecuaciones tanto logarítmicas y exponenciales. Por comodidad se utiliza el logaritmo base 10 ó base 𝑒, los cuales son los que ofrecen directamente las calculadoras. Ejemplo: Soluciona la ecuación 1024𝑥 = 4 Hay dos formas de resolverlo, una es transformando la ecuación exponencial a su forma logarítmica utilizando la definición, y la otra opción es aplicando logaritmo en ambos lados de la ecuación y se utilizan las propiedades de logaritmos. Las siguientes tablas presentan las dos formas de solucionar la ecuación. Utilizando la definición 1024𝑥 = 4 log1024 4 log 4 log 1024

Descripción del proceso Ecuación original Se aplica la definición Se aplica la propiedad del cambio de logaritmo log 𝑀 log 𝑎 𝑀 = log 𝑎

𝑥 = 0.2

Mediante la calculadora se realiza la división.

Utilizando la definición 1024𝑥 = 4 log 1024𝑥 = log 4

Descripción del proceso Ecuación original Se aplica logaritmo base 10 a ambos lados Se aplica la propiedad del cambio de logaritmo log 𝑎 𝑀𝑛 = 𝑛 log 𝑎 𝑀 Se despeja la variable.

𝑥 log 1204 = log 4 log 4 log 1024 𝑥 = 0.2

𝑥=

Mediante la calculadora se realiza la división.

Ejemplo Resolver la ecuación 4𝑥−1 = 3𝑥 . Como notara, la ecuación tiene en ambos miembros la variable 𝑥 como exponente, debido a esto conviene utilizar las propiedades para que se mas sencilla su solución. Primero se aplica logaritmo base 10 a ambos lados de la ecuación. 4𝑥 −1 = 3𝑥 log 4𝑥−1 = 𝑙𝑜𝑔3𝑥 Posteriormente, se bajan los exponentes como coeficientes en cada uno de los logaritmos. 𝑥 − 1 log 4 = 𝑥 log 3 A continuación se quita el paréntesis del lado izquierdo de la ecuación. 𝑥 log 4 − log 4 = 𝑥 log 3 Se pasan las variables de lado derecho y se factoriza por factor común, para poder despejar la variable y encontrar su valor. 𝑥 log 4 − 𝑥 log 3 = log 4 𝑥(log 4 − log 3) = log 4 𝑥=

log 4 (log 4 − log 3) 𝑥 = 4.819

Ejemplo. Resolver la ecuación: log(3𝑥 − 1) − log 𝑥 = 0 Como se observa en la ecuación, hay una diferencia de logaritmos y se puede unificar ya que existe una propiedad para hacerlo, como se muestra a continuación. log(3𝑥 − 1) − log 𝑥 = 0 log(

3𝑥 − 1 )=0 𝑥

Ahora se transforma el logaritmo como ecuación exponencial, utilizando la definición (recordando que la base del logaritmo es 10), como se muestra a continuación. 100 = 1=

3𝑥 − 1 𝑥

3𝑥 − 1 𝑥

𝑥 = 3𝑥 − 1 𝑥 − 3𝑥 = −1 −2𝑥 = −1 𝑥=

1 2

Como cualquier ecuación, se puede comprobar el resultado sustituyéndolo en la ecuación original y corroborando que se cumple la igualdad. log 3𝑥 − 1 − log 𝑥 = 0 log 3 1 2 − 1 − log(1 2) = 0 log 3 2 − 1 − log(1 2) = 0 log 1 2 − log(1 2) = 0 0=0