DESCUBRIENDO MEDIDAS A PARTIR DE LA FORMA

Resolución de problemas relacionados con formas cónicas

Objetivos de aprendizaje 1. Desarrollar procesos de solución de situaciones problema relacionadas con la forma, el área de la superficie y el volumen del cono. Reconocer las formas cónicas a partir de los elementos que la componen. Caracterizar objetos con forma cónica a partir del área de su superficie. Caracterizar objetos con forma cónica a partir de la medida de su volumen.

Introducción El cono y sus aplicaciones Por su variedad en las formas y tamaños, las figuras geométricas las podemos encontrar en varios lugares y objetos de la vida cotidiana. En muchas situaciones de tu vida has utilizado y manipulado objetos que en su forma corresponde a figuras geométricas. Observa la figura 1.

Figura 1. Sombrero cónico

Cono: una de las tantas definiciones de cono puede ser: Cuerpo redondo limitado por una superficie curva y una base plana de forma circular

Figura 2. Objetos en forma de cono

Figura 3. Montaña

Por sus características en algunas ocasiones la Otro ejemplo donde se presentan formas cónicas forma del cono es utilizada en recipiente es en la naturaleza, donde se pueden hallar cantidad de montañas, árboles, volcanes y piedras cuya forma se asemeja a un cono. SM_M_G09_U02_L02_M

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Figura 4. Los conos de Tlacoaleche

Figura 5. Tres conos

Cada vez son más los arquitectos y diseñadores Los conos no sólo los vemos en la naturaleza y que usan diseños cónicos en sus estructuras, para en las edificaciones de las ciudades, también los darle otra perspectiva a sus diseños. podemos ver en los lugares cotidianos cumpliendo una función de señal o aviso. Guía de observación de la animación

Actividad 1 Observa detenidamente la animación presentada por el docente. Luego responde. ¿Qué elementos se mostraron en la animación? ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ¿Podrías describir la forma de cada uno de ellos? ___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________

SM_M_G09_U02_L02_M

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Dibuja las figuras geométricas que componen la figura cónica.

Además dibuja algunos objetos cotidianos que tengan forma cónica.

SM_M_G09_U02_L02_M

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Actividad 2 Observa la animación sobre la formación del cono.

Figura 6. Formación de cono

Figura 7. Formación de cono

Describe el proceso de formación del cono y qué figuras geométricas forman parte de la construcción del cono. ____________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________

Actividad 3 Da tu apreciación de la animación. Redacta tu propia definición de cono y en la siguiente cuadricula plasma lo visto en ella por medio de un dibujo. ____________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ SM_M_G09_U02_L02_M

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A partir de la animación presentada en la actividad 2, completa los espacios para leer la definición completa del cono. En _______________, un cono es un ___________________generado por el giro de un __________________ alrededor de uno de sus ________. El __________ que se forma a partir del giro del triángulo se denomina base y al punto donde confluyen las ______________ se le llama _____________. Participa de la socialización de las definiciones presentadas por tus compañeros.

SM_M_G09_U02_L02_M

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Actividad 4 Traza las líneas más importantes en el siguiente cono y una posible definición de cada una de ellas:

Figura 8. Cono recto

____________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________ SM_M_G09_U02_L02_M

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Actividad 5 Escribe la definición de cada uno de los tipos de conos que nos presentaron en el interactivo. Haz su respectivo dibujo: Dibuja el cono respectivo

Definición de los tipos de cono ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________

____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________

____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________ ____________________________________________

SM_M_G09_U02_L02_M

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Actividad 6 Marca con una X a qué tipo de cono corresponde cada una de las imágenes. Justifica las razones de la elección. Figura

Ángulos Recto Truncado Oblicuo Justifica: ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________

Figura 9. Catedral metropolitana-Rio de Janeiro

________________________________________________ Recto Truncado Oblicuo Justifica: ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________

Figura 10. Macetas minimalistas

________________________________________________ Recto Truncado Oblicuo Justifica: ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________

Figura 11. Cono volcánico

SM_M_G09_U02_L02_M

________________________________________________

8

Recto Truncado Oblicuo Justifica: ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ Figura 12. Iglesia Sagrado corazón de Jesús

________________________________________________ Recto Truncado Oblicuo Justifica: ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________

Figura 13. Zona Trulli

________________________________________________ Recto Truncado Oblicuo Justifica: ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________

Figura 14. Cono corneta

________________________________________________

Actividad 7 Utiliza materiales como cartulina, cartón, cartón paja, entre otros, y recorta las plantillas. Observa y analiza las partes que constituyen el desarrollo de cada cono. Luego aplica las fórmulas para el área de superficies planas. Arma los conos y con base en el análisis anterior, halla el área y deduce la fórmula de área total.

SM_M_G09_U02_L02_M

9

h

Corte Doblez

r Figura 15. Desarrollo cono recto

Recuerda que g= GENERATRIZ

g=√h2+r2 r= radio de la base h=altura del cono

SM_M_G09_U02_L02_M

10

g

Corte Doblez

Figura 16. Desarrollo de cono truncado

Recuerda que g= GENERATRIZ

g=√h2+(R-r)2 r= radio de la base h=altura del cono SM_M_G09_U02_L02_M

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Área h g

r

Figura 17. Desarrollo de un cono recto

Área

Figura 18. Desarrollo de un cono truncado

Actividad 8 Para hallar el volumen de un cono recto u oblicuo realiza la siguiente experiencia. Arma un cilindo de 9 cm de altura y 3cm de radio en la base. Con las mismas medidas desarrolla un cono,luego marca la altura del cilindro en tres partes iguales y vacia arena u otro material en este, hasta la primera division. Después pasa el contenido al cono, y saca tus conclusiones para hallar su volumen. 3cm

3cm

9cm 6cm

9cm

3cm

Figura 19.cilindro y cono recto

SM_M_G09_U02_L02_M

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Con la información que posees, podrías expresar la fórmula para hallar el área total y el volumen del cono (recto)

Área y volumen

Recuerda que las figuras geométricas que forman parte de un cono son: en su base una circunferencia y su cara lateral, es el área del sector circular. De ahí podemos concluir que: El área del cono es: el área de su base + el área de la cara lateral. El volumen lo podemos tomar como la tercera parte del volumen del cilindro. 3cm

3cm

9cm

=

3cm

9cm

+

9cm

+

2 Volumen del cono= π.r3.h

Volumen del cilindro= π.r2.h Figura 20. Equivalencia del volumen entre el cilindro y el cono

SM_M_G09_U02_L02_M

3cm

13

9cm

Actividad 9 Con base en la experiencia de la actividad anterior, coloca atención a las instrucciones de tu docente, el cual a partir del interactivo presentará las fórmulas para hallar el volumen del cono. Compara, corrige e inicia el proceso para dar solución a los ejercicios propuestos en esta actividad. Recomendaciones para la solución de ejercicios: • Identificar cada uno de los datos que te presentan en el enunciado • Graficar para ilustrar la situación (en caso que no se presente el dibujo en el ejercicio) • Tener claridad sobre lo que te preguntan y que debes hallar • Aplicar las fórmulas teniendo en cuenta los datos que debes remplazar para no alterar la fórmula • Realizar las operaciones requeridas teniendo en cuenta los signos y unidades de las operaciones para no alterar las respuestas Solución de ejercicios Si un cono recto tiene una altura de 30 cm y un radio de 22 cm, ¿cuál será su área total y su volumen?

SM_M_G09_U02_L02_M

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¿El volumen de un cono oblicuo que tiene de radio 5cm y una altura de 8cm es de?

Calcular el área lateral, área total y el volumen del tronco de cono de radios 12cm y 4 cm y de altura 20 cm

SM_M_G09_U02_L02_M

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Actividad 10 Aplicación de la temática de los conos 1. La proyección de la luz de un faro tiene una generatriz de 13 cm y el radio de la base es de 5cm. Calcula el área lateral, total y el volumen del cono formado

2. Un tanque tiene forma de cono oblicuo. Si el radio de la base es de 2 m y su altura es de 6 m, ¿cuál es el volumen del tanque?

SM_M_G09_U02_L02_M

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3. Un vaso de plástico con tapa tiene forma de cono truncado. Si su altura es de 10 cm, su base tiene un radio de 2 cm, y la tapa tiene como radio 4 cm, ¿cuál es la cantidad de plástico utilizado para su producción?, ¿cuál es la capacidad del vaso?

SM_M_G09_U02_L02_M

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DESCUBRIENDO MEDIDAS A PARTIR DE LA FORMA

Resolución de problemas relacionados con formas cónicas

En geometría un cono recto es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se le denomina base, y al punto donde confluyen las generatrices se le llama vértice. Área de la superficie cónica

A= ABase+ALateral= πr2 + πrg Donde r es el radio de la base y g la longitud de la generatriz del cono recto. La generatriz de un cono recto equivale a la hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma con la altura del cono y el radio de la base. Su longitud es:

g =√h2+r2 Elementos del cono Eje: es el cateto fijo alrededor del cual gira el triángulo. Base: es el círculo que forma el otro cateto. Altura: es la distancia del vértice a la base. Generatriz: es la hipotenusa del triángulo rectángulo.

Vértice

Altura

Área lateral de un cono AL=π∙r∙g

Generatriz

Área de un cono AT=π∙r∙(g+r) Volumen de un cono

Base Eje Figura 21. Elementos del cono

SM_M_G09_U02_L02_S

1

2 V= π∙r ∙h 3

Tipos de conos El cono truncado o tronco de cono es el cuerpo geométrico que resulta al cortar un cono por un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vértice. Elementos del cono truncado Base mayor: circunferencia paralela a la base generada por el corte. Base menor: la sección determinada por el corte es la base menor. La altura es el segmento que une perpendicularmente las dos bases Los radios son los radios de sus bases. La generatrizes el segmento que une dos puntos del borde de las dos bases..

r

h

g

Obtenemos la generatriz del cono truncado aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado

R-r

g2=h2+(R-r)2

Figura 22. Elementos del cono truncado

g = √h2+(R-r)2

Área lateral de un cono truncado

AL= π∙(R+r)∙g Área de un cono truncado

opcion 1 AT= Al+π∙R2+π∙r2 opcion 2 AT= π [g(R+r)+R2+r2] Volumen de un cono truncado

V= 1 π∙h∙(R2+r2+R∙r) 3 Se entiende R como el radio de la base mayor, y la r como el radio de la base menor.

SM_M_G09_U02_L02_S

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Cono oblicuo Un cono oblicuo es aquel cono cuyo eje de revolución no es perpendicular a su base. Pueden ser de dos tipos: de base circular o de base elíptica. El de base elíptica es el cuerpo geométrico resultante de cortar un cono recto mediante un plano oblicuo a su eje de revolución. La base es un círculo o una elipse, y la altura es el segmento que contiene al vértice; siendo perpendicular al plano de la base, pero no es coincidente con el eje del cono.

a

Superficie y desarrollo La superficie lateral de un cono oblicuo es un triángulo curvilíneo, con dos generatrices por lados, y base semielíptica. La superficie de la base de un cono oblicuo es un círculo o una elipse.

h

r

Volumen La ecuación empleada para hallar el volumen de un cono oblicuo de base circular es similar a la del cono recto:

π∙r2∙h v= 3

Figura 23.cono oblicuo

SM_M_G09_U02_L02_S

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DESCUBRIENDO MEDIDAS A PARTIR DE LA FORMA

Resolución de problemas relacionados con formas cónicas

1. Calcular el área y el volumen del cono recto, si la altura es de 7cm y el radio de la base es de 3 cm

2. Calcula el área y el volumen de un tronco de cono sabiendo que el radio de la base mayor mide 5 cm, el de la base menor 2 cm, y la altura es de 8 cm

SM_M_G09_U02_L02_A

1

3. Halla el volumen del cono oblicuo de 12 cm de radio y altura de 5 cm

SM_M_G09_U02_L02_A

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Lista de figuras

Figura 1. Sombrero cónico. Recuperado de: http://blog.kuchi.fm/wp/wp-content/uploads/2013/03/3women-hats-4.jpg Figura 2. Objetos en forma de cono Figura 3. Montaña. Recuperado de: https://ramblingsabout.files.wordpress.com/2012/09/chocolate-hills_snapseed_snapseed.jpg Figura 4. Los conos de Tlaco aleche. Javier96 (2011, Noviembre 01) Los conos de Tlaco aleche. JPG {Fotografía}. Obtenidode:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fe/Los_Conos_de_Tlacoaleche.jpg Figura 5. Arango, Y. (2006, Agosto 17) Tres conos {Fotografías}. Obtenido de: https://www.flickr.com/photos/vladimix/222917711/in/photostream/ Figura 6. Formación del cono Figura 7. Formación del cono Figura 8. Cono recto Figura 9. Cono recto. Flickreview, R. (2010). Rio-Cathedral1. [Fotografía]. Brasil. Recuperado de: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Rio-Cathedral1.jpg Figura 10. Fiberland. (2010). Macetas minimalistas. [Fotografía]. Recuperado de: http://www.fiberland.com.mx/macetas-de-fibra-de-vidrio-conos.html Figura 11. Geografía. La guía. (2006). Cono volcánico. [Fotográfico]. Recuperado de: http://geografia.laguia2000.com/wp-content/uploads/2012/02/cono-volcanico-300x197.jpg Figura 12. Alvarado, R. (2008). Iglesia sagrado corazón de Jesús. [Fotografía]. Recuperado de:http://prismaing.com/wp-content/uploads/2013/08/1110.jpg Figura 13. Llorca, P. (2013, Julio 29). Zona trulli. [Fotografía]. Recuperada de: http://sargantanaxpress.blogspot.com/2013/07/viaje-al-tacon-de-la-bota-1-parte-lecce.html Figura 14. Openclips. (2013, Octubre 19) Cono corneta [Fotografía]. Recuperado de: http://pixabay.com/p-154663/?no_redirect Figura 15. Desarrollo cono recto Figura 16. Desarrollo cono truncado Figura 17. Desarrollo cono recto Figura 18. Desarrollo de un cono truncado Figura 19. Cilindro y cono recto Figura 20. Equivalencia del volumen entre el cilindro y el cono Figura 21. Elementos del cono Figura 22. Elementos del cono truncado Figura 23. Cono oblicuo SM_M_G09_U02_L02_A

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