TEMA 1: NÚMEROS ENTEROS Y RACIONALES 1.1 Números naturales Actividades página 19 1.
Calcula a) 3 3 2 3 5 3 c) 2 3 2 2 3 2
3 2 5 3 30 3 30 30 30 2 6 2 2 2 2 2 2 64 1
27 000
6
f) 6 1000000 10 6 6 10 6 10 1 10 Tareas 23-09-2013: todos los ejercicios que faltan del 1.
1.3 Números enteros Ejemplo de valor absoluto Calcula el valor absoluto de los siguientes números enteros: |5| 5 11 | 11| 11 31 | 31| 31 | 36| 36 |0| 0 Conclusión:
|x|
x
if x
0
x if x
0
Actividades página 22 Calcula d) |30 20 9 | |30 20 9| |59| 59 Otra forma de hacerlo: 20 9 | |30 29 | |30 29| |59| 59 |30 3 Calcula b) 3 4 2 4 3 8 4 5 3 11 3 2 4 5 20 33 6 20 660 20 6 660 646 Tareas 23-09-2013: todos los ejercicios que faltan de la página 22 2
20
666
Ejemplos de potencias de base entera y exponente natural Calcula las siguientes potencias: 1235678910112131415 0 1 45678987654321 0 1 0 234888999666 1 5 3 5 5 5 125 4 5 5 5 5 5 625 4 5 5 5 5 625 5
Ejemplos de aplicación de las propiedades de las potencias Aplica las propiedades de las potencias en los siguientes ejercicios: 3 2 34 3 2 4 32 6 5 75 6 7 5 42 5 11 5 11 5 3 3 3 3 11 5 3 16 14 3 14 3 3 3 3 1 25 6 25 6 1 2 30
Actividades página 23 1
5
Simplifica: 3 5 3 3
3
8
54
3 3
13 9
54
3
13 9
54
3
4
54
15
3 6 Efectúa las siguientes operaciones: 2 17 4 3 2 4 5 1 d) 17 4 3 6 2 4 52 3 7 2 2 17 12 2 4 5 1 29 2 4 5 29 2 9 2 29 2 81 29 162 133 Tareas 24-09-2013: todos los ejercicios que faltan de la página 23
4
7
2
1.4 Números racionales. Fracciones Ejemplos de números racionales Determina si los siguientes números son racionales o no: 5 7 123 . . . . . . . . . . . 1 5 7 123 Si es un número racional que se puede escribir de muchas formas equivalentes. 0 0 0 0 ........................ 5 12 4567 Si es un número racional que se puede escribir de muchas formas equivalentes. 12 12 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 2 4 Si es un número racional que se puede escribir de muchas formas equivalentes. Conclusión: esto nos dice que todos los números enteros son racionales. 5 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 0. 714 285 714 285 714 285 71 7 14 Si es una fracción que representa a un número decimal períodico puro mediante una fracción propia. 7 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 3. 5 4 2 Si es una fracción que representa a un número decimal exacto mediante una fraccion no propia (impropia). Sin embargo, se puede expresar como: 7 3 1 lo hemos convertido en la suma de un entero con una fracción propia. 2 2 104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 52 35 1. 485 714 285 714 285 714 3 70 35 Si es una fracción que representa un número decimal periódico mixto mediante una fracción impropia. Sin embargo, se puede expresar como: 52 1 17 lo hemos convertido en la suma de un entero con una fracción propia. 35 35 Hasta ahora, todos los ejemplos que hemos puesto nos han dado números racionales.
Ejemplo de que entre dos números racionales hay infinitos números racionales Elegimos el número 12. Consideramos los números racionales 7 y 8 . 12 12 ¿Se puede encontrar, operando con ellos, un número racional que esté entre ellos? 8 15 2 15 Sería 7 2 12 12 12 24 7 14 15 16 8 Se cumple que 12 24 24 24 12 Siguiendo esta técnica puedo obtener infinitos números racionales entre los dados. Tareas 26-09-2013: página 24 los ejercicios 1 y 2
Ejemplos de simplificación de fracciones Simplifica las fracciones siguientes: 66 33 fracción irreducible 132 28 14 56 231 77 fracción irreducible 144 48 2
Ejemplos de fracciones equivalentes Determina si las siguientes parejas de fracciones son equivalentes: 24 y 21 16 14 Comprobamos si el producto de extremos es igual al producto de medios: 24 14 336 16 21 336 Como estos productos son iguales, si son equivalentes. Otra forma de hacerlo sería: simplificar para ver si obtenemos la misma fracción irreducible. 24 12 6 3 16 8 4 2 21 3 14 2 Como se cumple que llegamos a la misma fracción irreducible, si son equivalentes.
Ejemplos de la fracción como operador En una tienda la consola PS4, que cuesta 400 euros, tiene un descuento promocional de 5 de su 8 precio. ¿Qué cantidad me descuentan? Tenemos que calcular 5 de 400 400 8 5 50 5 250 8 Me descontarían 250 euros En una tienda venden la equipación del F.C. Barcelona con un descuento del 15%. Si la equipación cuesta 102 euros, ¿cuánto pago por ella? Hemos de calcular el 15% de 102, es decir, el 15 de 102 100 153 102 15 100 15. 3 10 Tareas 26-09-2013: página 25, ejercicios 4,5
1.5 Operaciones con fracciones Ejemplo de sumas y restas de fracciones Realiza las siguientes sumas y restas de fracciones: 5 9 5 9 4 1 4 4 4 4 6 5 3 7 3 14 Se calcula el m. c. m. 7, 3, 14 7 2 3 42 dado que la descomposición en factores primos de los denominadores es
Actividades de la página 27 Un terreno se divide en tres partes. Dos de ellas son 2 y 1 del total. ¿Cuál es la más grande? 5 3 Tenemos que conocer las tres partes para poder compararlas y saber cual es la mayor. 2 1 15 6 5 15 11 4 1 5 3 15 15 15 15 15 6 ;1 5 Las tres partes del terreno son: 4 ; 2 15 5 15 3 15 6 La más grande es 2 5 15 7 Un club dispone de 1200 entradas para un partido. Asigna 3 partes a su hinchada y 5 del 5 8 resto a los visitantes. ¿Cuántas entradas quedan para venta libre? Primero calculamos las entradas para la hinchada: 3 de 1200 3 1200 1200 5 3 240 3 720 entradas para la hinchada. 5 5 1200 720 480 entradas han sobrado 5 de 480 480 8 5 60 5 300 entradas para los visitantes 8 480 300 180 entradas para la venta libre Tareas 01-10-2013: todos los ejercicios que faltan de la página 27 3
1.6 Potencias de exponente entero Ejemplos de potencias de exponente entero 1.
2.
Dadas las siguientes potencias de exponente negativo, transformarlas para que el exponente me salga positivo. 1 a. 9 3 93 4 52 b. 3 2 5 34 1 c. 76 7 6 8 5 7 5 d. 7 8 Aplica las propiedades de las potencias en las siguientes expresiones: 6 3 73 7 3 6 3 a. 3 3 7 6 7 6 7 5 6 7 6 5 6 7 6 57 6 2 b. 7 7 7 7 7 6 2 1 4 2 2 5 4 4 5 4 4 5 c. 3 4 3 2 3 3 3 3 3 3 3 35 3 5 2 6 22 2 2 7 6 2 4 26 76 2 4 3 6 76 4 d. 4 3 14 4 3 4 3 3 4 4 6 35 2 3 7 5 3 3 54 2 3 7 5 4
25 72 25 72 33 3 4 3 5 54 Tareas 01-01-2013: todos los ejercicios de la página 28
EJERCICIOS FINALES DEL TEMA 1.
Calcula d
7
4 7
3
8
20
15
5
8
5
7
7 35
4
5
5 3
245
Tareas 03-10-2013: todos los ejercicios que faltan del 1 2 Calcula d | 3
|2
8||
| 3
| 6||
| 3
6|
|3|
3
Tareas 03-10-2013: todos los ejercicios que faltan del 2 3 Calcula las siguientes potencias: 2 2 2 8 2 3 23 2 2 2 8 23 2 2 2 8 2 4 2 2 2 2 16 24 2 2 2 2 16 20 1 Tareas 03-010-13: Todos los ejercicios que faltan del 1 Todos los ejercicios que faltan del 2 4 5 Realiza las siguientes operaciones: d 6 1 5 2 2 2 5 4 6 6 5 4 2 1 6 6 20 2 1 14 2 12 Tareas 03-010-13:Todos los ejercicios que faltan del 5 6 Expresa como potencia única. e 12 2 4 2 12 4 2 3 2 3 3 f 1 2 53 1 2 5 3 10 3 Tareas 03-010-13:Todos los ejercicios que faltan del 6 7 Elimina paréntesis y simplifica. d 24 2 2 4 3 24 22 22 3 24 2 26 26 2 2 6 1 6 1 Tareas 03-010-13:Todos los ejercicios que faltan del 7 8 Expresa el radicando en forma de potencia y calcula: 5 5 100000 c 10 5 10 4 4 81 f 34 3 Tareas 03-010-13:Todos los ejercicios que faltan del 8 9 Calcula mentalmente: 1 de 1 de 4 c La mitad de la quinta parte de 4 5 2 1 1 4 2 4 5 2 5 10 2 d El triple de la mitad de tres veces la 1 de 2 3 2 3 1 2 6 3 1 2 3 6 Tareas 03-010-13:Todos los ejercicios que faltan del 9 10 Calcula mentalmente: c Los tres séptimos de 140 3 de 140 140 7 3 7
26
5
d
20 3 60 Atención: 3 de 140 3 140 420 60 7 7 7 El número cuyos cinco sextos son 25
5 de x 6
25
x 25 5 6 5 6 30 Atención: te damos el final y hay que llegar al principio. Tareas 03-010-13:Todos los ejercicios que faltan del 10 11 Calcula mentalmente 7 de cien mil 7 100000 700000 d 35000 20 20 20 Tareas 03-010-13:Todos los ejercicios que faltan del 11 12 Compara mentalmente: 5 y 3 d 8 8 3 5 pues tenemos el mismo divisor pero 5 3 8 8 Tareas 03-010-13:Todos los ejercicios que faltan del 12 13 Expresa en forma de fracción de hora. 10 1 de hora c 10 min 60 6 1 de hora f 1s 3600 Tareas 03-010-13:Todos los ejercicios que faltan del 13 Tareas 07-010-13: 15 16 Expresa como número mixto 48 48 45 3 9 5 3 9 5 3 d 5 5 5 5 5 5 93 3 e 9 10 10 9 3 10 9 0
9
3 5
9
3 Tareas 07-010-13:Todos los ejercicios que faltan del 16 17 Calcula 7 3 7 3 d 2 2 2 2 7 7 2 4 2 4 7 85 98 85 183 2 28 28 28 28 Tareas 07-010-13:Todos los ejercicios que faltan del 17 18 Reduce a una sola fracción 3 1 3 1 2 3 d 1 5 3 4 2 3 20 9 5 1 2 3 1 3 15 15 4 2 3 20 14 60 45 30 40 9 15 60 60 60 60 60 14 76 14 38 14 19 5 15 60 15 30 15 15 15 Tareas 07-010-13:Todos los ejercicios que faltan del 18 19 Calcula 3 5 5 2 2 5 7 7 3 d 5 7 30 2 10 4 3 6 21 Tareas 07-010-13:Todos los ejercicios que faltan del 19 20 Calcula 1 1 d 2 3 8 23
7 2
56 28
8 28
21 28
1 3
6
1 1 1 1 1 17 Tareas 07-010-13:Todos los ejercicios que faltan del 20 21 Ordena de menor a mayor. 1
h
3
3
17
3
1
30
3
4
3
2
Calculamos cada una de las potencias: 1 1 3 3 27 33 1 1 1 3 1 3 3 3 1 30 30 1 4 1 1 3 81 3 4 1 1 3 2 9 32 La ordenación será: 1 1 1 1 1 3 81 27 9 22 Calcula 1 2 1 1 1 1 c 1 36 2 6 1 36 1 1 1 36 6 6 6 Otra forma de hacerlo: 1 2 6 1 2 6 2 6 6 36 6 1 3 f 4 1 3 43 4 4 4 64 4 Tareas 08-10-2013: todos los ejercicios que faltan del 22 23 Expresa en forma de potencia de base 10 g Diez mil billones 10000000000000000 10 16 h Mil centésimas 10. 00 10 10 1 Tareas 08-10-2013: todos los ejercicios que faltan del 23 24 Escribe en forma de potencia de base dos o cinco: 625 54 1 1 2 7 128 27 2 7 2 2 2 2 2 2 2 128 Tareas 08-10-2013: todos los ejercicios que faltan del 24 25 Calcula 2 1 6 2 3 1 5 6 1 c 1 4 3 2 3 5 2 32 23 3 5 6 1 5 3 4 30 9 17 9 2 8 3 2 4 12 12 12 12 Tareas 10-10-2013: todos los ejercicios que faltan del 25 26 Calcula 4 1 3 7 3 1 1 3 1 3 1 d 2 4 7 28 4 28 4 4 16 16 24 24 3 16 3 16 1 Tareas 10-10-2013: todos los ejercicios que faltan del 26 27 Calcula 1 7 5 5 1 1 1 3 7 5 10 1 4 d 4 12 4 2 4 12 12 4 4 4 4 5 3 1 4 5 4 4 20 16 12 4 4 12 4 3 12 12 12 4 3 Tareas 10-10-2013: todos los ejercicios que faltan del 27
1
7
29 Reduce 4 32 32 32 32 4 32 38 32 8 3 10 32 94 3 10 10 3 0 2 5 2 10 10 10 10 5 3 3 3 3 3 3 1 Tareas 10-10-2013: todos los ejercicios que faltan del 29 30 Un ascensor se encuentra en el sótano 4. ¿En que piso se encontrará después de realizar los siguientes movimientos? sube 6: baja 3: sube 9: baja 5: baja 2 Utilizamos los números enteros. sótano 4 4 subir lo indicaremos con suma o número entero positivo bajar lo indicaremos con resta o número entero negativo 4 6 3 9 5 2 6 9 4 3 5 2 15 14 1 Se encontrará en el primer piso. Tareas 10-10-2013: 31,32 33 Aristóteles murió en el año 322 a.C. y vivió 62 años. ¿En qué año nació?
c
1ª forma 322
62
384
nació en el 384 a.C.
2ª forma Como hablamos de a.C., el año 322 322 Por lo tanto, nació 322 62 322 62 384 nació en el 384 a.C. 34 Con una barrica que contiene 510 l de vino, ¿Cuántas botellas de 3 de litro se pueden llenar? 4 ¿Cuántas de litro y medio? 510 4 510 3 170 4 680 botellas son necesarias para repartirlas en botellas 4 3 de 3 de litro 4 510 0. 75 170 4 680 botellas son necesarias para repartirlas en botellas de 3 de 4 litro