TEMA

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Números enteros y racionales*

• Números enteros: Se denominan números naturales (también llamados enteros positivos) a los números que nos sirven para contar objetos: 1,2,3,4,5,... El conjunto de los números naturales se designa por la letra N: N={1,2,3,4,5,6,...} El 0 no lo consideraremos número natural, aunque otros autores si lo hacen. Se denominan números enteros al conjunto de los números naturales, sus negativos y el 0. El conjunto de los números enteros se designa por la letra Z: Z={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...} Evidentemente N⊂ Z (Naturales incluidos en enteros) En el conjunto de los números Z se definen varias operaciones ya conocidas, como la suma, resta, multiplicación y división.

• Múltiplo, divisor: Si un número a, al dividirlo por otro b, da división exacta (resto 0), se dice que a es múltiplo de b y b se dice divisor de a. Ej. 8 es múltiplo de 4 y 4 es divisor de 8. Además se dice que a es divisible por b y que b divide a a. Ej. 28 es divisible por 7 y 7 divide a 28. Pero 10 no es divisible por 3.

• Par e impar:

Un número entero divisible por 2 se dice par. Impar en caso contrario. Por ejemplo, 8 es par y 23 es impar. Todos los pares se pueden representar por 2n, siendo n un número entero cualquiera. Los impares se pueden representar en general por 2n+1.

• Reglas de divisibilidad: Nos permiten saber si un número es divisible por otro, sin necesidad de efectuar la división. Las más utilizadas son: • Un número es divisible por 2 si termina en 0 o en cifra par. • Un número es divisible por 3 si la suma de los valores de sus cifras es 3 o múltiplo de 3.

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• •

Un número es divisible por 5, si termina en 0 o en 5. Un número es divisible por 9, si la suma de los valores de sus cifras es 9 o múltiplo de 9.

• Valor Absoluto: Llamaremos valor absoluto de un número entero, al mismo número con signo positivo, independientemente del signo que tuviera. Al valor absoluto de n lo designaremos por |n|, entonces:  n si n ≥ 0 n = − n si n < 0 Ej: |5|=5 , |-5|=- (-5)=5

• Algoritmo de la División: Si a (dividendo)y b (divisor) son dos números enteros con b≠0, existen q (cociente) y r (resto) enteros tales que a=bq+r, donde 0≤r b se lee “ a mayor que b” a ≤ b se lee “a menor o igual que b” a ≥ b se lee “a mayor o igual que b” Si a y b son dos números reales: (a , b) significa el intervalo abierto de extremos a y b. Si a y b son dos números reales: [a , b] significa el intervalo cerrado de extremos a y b. La barra vertical significa “tal que” a ∈ A significa “ el elemento a pertenece al conjunto A” a ∉ A significa que “ el elemento a no pertenece al conjunto A” A ⊂ B significa “ el conjunto A está incluido en el conjunto B” A ⊄ B significa no incluido Si A es un conjunto A significa “cardinal de A, es decir el número de elementos de A”

φ , hablando de conjuntos, es el conjunto vacío φ hablando de sucesos es el suceso imposible ⇔ significa al igual que ↔ “ si y solo si”, lo que equivale a que si se cumple lo de la izquierda de la flecha, se cumple lo de la derecha de la flecha y viceversa ⇒ al igual que → significa “implica” es decir “ de lo de la izquierda se deduce lo de la derecha” ∪ significa unión de conjuntos ∩ significa intersección de conjuntos BC significa el complemento o conjunto complementario de B f : A → B se lee “ aplicación o función f de A en B” g f significa composición de las funciones f y g (en ese orden) ∀ significa “para todo” o “ para cada” n   es el número combinatorio “ n sobre r” que significa “número de combinaciones de n r elementos tomados de r en r “ Si A es un conjunto P(A) significa el conjunto de las partes de A, o conjunto potencia de A. Si A es un suceso p(A) significa “probabilidad de A”

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OTRA FORMA DE PASO DE FORMA DECIMAL A FORMA DE FRACCIÓN A)

Caso de expresión decimal finita. Ejemplo 2,345 Se dividen todas las cifras, sin la coma, entre la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal y después se simplifica.

2,345 = B)

2345 469 = 1000 200

Caso de expresión decimal periódica pura. Ejemplo 3, 24 Pasos a seguir: 1. Se le asigna al número el nombre de una variable, por ejemplo "x" 2. Se multiplican ambos miembros de la igualdad por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene un periodo. 3. Se restan las dos últimas igualdades. 4. Se despeja la variable "x" y el resultado simplificado obtenido es la forma fraccionaria buscada (Comprobar dividiendo con la calculadora)

3, 24 x = 3,2424... 100 x = 324,2424... 99 x = 321 321 321 107 Luego 3, 24 = = x= 99 33 99

Ejemplo propuesto: 1. 2. 3. 4.

C)

Caso de expresión decimal periódica mixta. Ejemplo x = 5, 234 Pasos a seguir: 1. Se le asigna al número el nombre de una variable, por ejemplo "x" 2. Se multiplican ambos miembros por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica (para convertirla en pura y poder seguir con el mismo proceso anterior del caso b) ) 3. Se multiplican ambos miembros por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene un periodo. 4. Se restan las dos últimas igualdades. 5. Se despeja la variable "x" y el resultado simplificado obtenido es la forma fraccionaria buscada (Comprobar dividiendo con la calculadora)

x = 5, 234 x = 5,23434... 10 x = 52,3434... 1000 x = 5234,3434... (observa que he multiplicado la igualdad anterior por 100)

Ejemplo propuesto: 1. 2. 3. 4. 5. D)

990 x = 5182 5182 5182 2591 x= luego 5, 234 = = 990 495 990

Caso de expresión decimal no finita ni periódica. Ejemplo 2,121121112... No se puede convertir en fracción ya que se trata de un número irracional, ya que todos los racionales (fracciones) tienen una expresión decimal finita o periódica.

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EJERCICIOS CON NÚMEROS ENTEROS Y RACIONALES 1.-

¾ a) 3 ⋅ ( 5 − 2 ) − 3 ⋅ ( 3 ⋅ 5 ) − 2 ⋅ 3 =

Sol. 54

¾ b) 11 + (18 + 2 )  ⋅ 3 + (11 + 18 ) + 21 ⋅ 7 =

Sol. 443

¾ c) ( −3) + (10 − 8 )  −  − ( −3) + 5 − 8 − 4  =

Sol. 13

¾ d) 10 ⋅1 ⋅ ( −1) ⋅ ( −2 ) =

Sol. 20

¾ e) 35 ⋅ ( −3) − 3 ⋅ ( 2 − 4 ) =

Sol. -99

¾ f) [ 2 + 5 − 3] − 2 +  −2 − 2 − 5 + ( −4 )  =

Sol. -11

2.- m.c.d. y m.c.m. ¾ 60 ¾ 525 ¾ 77

y y y

42 320 42

mcd= 6 mcd= 5 mcd= 7

mcm=420 mcm=33600 mcm=462

3.- Calcula y simplifica:

1 5 1 1 ¾ a)  −  ⋅  −  = 2 8 3 9

Sol. −

 2  6 1    2 6  1  ¾ b)  ⋅  ⋅   ÷  ⋅  ⋅  =  3  7 4    3 7  4 

Sol. 1

  2   1 1    2   5 25   ¾ c)  −   ⋅  −   ÷  − 2  ⋅  1 − −   =   4 12     3   5 4    7

Sol.

1 120

191 60

¾ d)

1 3  4 1 1 3  − ⋅ 1 − ⋅ − 2  − 2 ⋅ + = 3 2  3 2 5 4 

Sol.

¾ e)

5 3  7 3 − ⋅8 − + 2⋅  − 7 = 4 2  3 4

Sol. −

1 36

33 2

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EJERCICIOS CON FRACCIONES 1.-

2 7 3 5 + − ⋅ 3 4 8 9= 7 2  −  + 8 6 4 

Sol. −

53 176

Sol. −

203 369

2.-

1 4 3 3 ⋅ − 2⋅ −  2 3 5 4 = 7 3 1 − ⋅ 5 2 4 3 4 − 4 3 3.-

1 15 12 15 12 + − − + = 24 40 135 54 375

Sol.

41 500

Sol.

23 10

Sol.

1 2

4.-

2 1 2 2 1 + ÷ + ÷  = 3 3 5 5 2 5.      2  6  1 5   + ⋅ − ÷ ⋅ + 1 = 1 1      3  5  1 + 1 3   3   2 

Este tema ha sido pasado a soporte informático por los alumnos José Miguel Sánchez y Jesús Ramil, basándose en el libro Matemáticas Especiales, de E. Bujalance y otros, editado por la editorial Sanz y Torres y en las explicaciones dadas en las tutorías presenciales, por el profesor tutor del Centro de la Uned Alzira-Valencia “Francisco Tomás y Valiente”, José Luis Lombillo, que los ha corregido, completado y ampliado. *

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