Triángulos Rectángulos y Ángulos Agudos Un ángulo agudo es un ángulo con una medida mayor que 0º y menor que 90º. Se utilizan letras griegas  (alpha),  (beta),  (gamma),  (theta), and  (phi) para nombrar ángulos, o letras mayúsculas A, B, C, etc. Nombramos los lados conforme a su relación con los ángulos. La hypotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Se nombramos el ángulo de la base , uno de los lados es el lado opuesto a  y otro es el lado adyacente a . Hypotenusa

 Lado adyacente a 

Lado opuesto 

Razones Trigonométricas La longitud de los lados del triángulo recto se usan para definir seis razones trigonométricas. seno (sin) coseno (cos) tangente (tan)

Hypotenusa



Lado adyacente a 

cosecante (csc) secante (sec) cotangente (cot) Lado opuesto 

Valores de las funciones trigonométricas de un ángulo agudo  Sea  un ángulo agudo de un triángulo recto. Las 6 funciones trigonométricas de  se definen:

side opposite  sin   hypotenuse

hypotenuse csc  side opposite 

side adjacent to  cos  hypotenuse

hypotenuse sec  side adjacent to 

side opposite  tan  side adjacent to 

side adjacent to  cot   side opposite 

Ejemplo En el triángulo que se muestra, hallar los valores  de las 6 funciones trigonométricas de  y . 12 13 Solución: opp 5 a) sin     hyp 13 5 adj 12 cos    hyp 13 hyp 13 sec    adj 12 opp 5 tan    adj 12 adj 12 cot    opp 5 hyp 13 csc    opp 5

Funciones Recíprocas Note que existe una relación recíproca entre parejas de funciones trigonométricas.

1 csc  sin  1 sec  cos 1 cot   tan 

Ejemplo Dado un triángulo recto, en el que 4 3 4 sin   , cos   , and tan   , 5 5 3 hallar csc , sec , y cot . Solución:

1 csc   sin 

5 1   4 4 5 5 1 1 sec     3 3 cos  5

1 cot   tan 

1 3   4 4 3

Ejemplo 6 Si sin   y  es un ángulo agudo, determinar los 7 5 valores trigonométricos de . Solución: Use la definición de la función del seno como una razón 6 opp  y dibuje el triángulo recto. 7 hyp Use la ecuación de Pitágora para hallar a. 7

6

 a

a2  b2  c2 a2  62  72 a 2  36  49

a 2  49  36  13

a  13

Ejemplo continuación:

Use las longitudes de los 3 lados para determinar las cinco razones restantes.

6 sin   7

7 csc   6

13 cos   7

7 7 13 sec    13 13

6 6 13 tan    13 13

13 cot   6

Ejemplos Hallar el valor de las 6 funciones trigonométricas para cada ángulo utilizando la calculadora. Redondee a 4 lugares decimales: a) tan 29.7º b) sec 48º Solución: Asegúrate de que la calculadora esté en modo de grado.

a) tan 29.7º  0.5703899297  0.5704

1 b) sec 48º   1.49447655  1.49445 cos 48º

 0.9948409474  0.9948

Resolver el triángulo Resolver el triángulo rectángulo implica determinar las longitudes de todos los lados y las medidas de todos los ángulos.

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Ejemplo B En el triángulo rectángulo ABC, determinar a, b, y B si el triángulo se ha nombrado de forma estándar como se muestra en el diagrama.

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106.2

a

61.7º A b

C

B

Ejemplo (cont.) Solución: Como la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180o, la suma de A y B debe ser 90o.

106.2

a

B  90º A  90º 61.7º  28.3º

61.7º A b

C

Por lo tanto, las medidas de los ángulos son: A  61.7º

B  28.3º C  90º

B

Ejemplo (cont.) Solución (cont.):

hyp a sin 61.7º   opp 106.2

a  106.2sin 61.7º a  93.5 adj b cos 61.7º   hyp 106.2

106.2

a

61.7º A b

C

Las longitudes de los lados son:

a  93.5

b  106.2 cos61.7º

b  50.3

b  50.3

c  106.2

Aplicaciones: Tipos de ángulos

Aplicaciones: Ejemplo1 A la misma vez que un globo de aire se calienta y comienza a subir, el personal de tierra viaja 1.2 mi hacia una estación de observación. La observación inicial estimó que el ángulo entre la tierra y el globo era 30º. Aproxime la altura al cual se encuentra el globo en ese momento. Solución:

Debe comenzar haciendo un esquema de la situación, nombrando las partes y anotando la información que se tiene.

Solución (cont.):

opp h tan 30º   adj 1.2

 3 1.2  h  3  0.7  h

1.2 tan 30º  h El globo está aproximadamente a 0.7 mi, or 3696 ft.

Aplicaciones: Ejemplo 2 El supervisor de pintura ha comprado escaleras nuevas que extienden hasta 30 pies. El manufacturero dice que, para mayor seguridad, se debe extender la escalera 25 pies y colocarla de tal forma que la base se este a 6.5 pies de la pared. ¿Qué ángulo debe hacer la base de la escalera con el suelo? Solución:

Debe comenzar haciendo un esquema de la situación, nombrando las partes y anotando la información que se tiene.

Solución (cont)

adj cos  hyp

6.5 ft  25 ft

 0.26 Use la calculadora para hallar el ángulo que tiene coseno igual a 0.26:

  74.92993786º Por lo tanto, la escalera está en su posición más seguara. con un ángulo de 75º con el suelo.

Aplicaciones: Ejemplo 3 

Una palma de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.

opuesto tan( )  adyacente 50 tan( )  60 5 tan( )  6 1  5     tan    40  6

Aplicaciones: Ejemplo 3 

El extremo superior de una escalera esta apoyada en una pared de forma que alcanza una altura de 5 pies sobre el suelo. Si la escalera forma un ángulo 38º con el suelo, ¿Cuál es el largo de la escalera?

opuesto sin(38 )  hipotenusa 5  sin(38 )  x 5 x  8 pies  sin(38 ) 

Aplicaciones: Ejemplo 3 

Un edificio tiene una altura de 75m. ¿Qué medida tiene la sombra que proyecta cuando el sol tiene un ángulo de elevación de 50º?. Haz un dibujo del problema

adyacente cos(50)  hipotenusa x cos(50)  75

x  75 cos(50)  48m