COLEGIO FRANCISCANO AGUSTÍN GEMELLI ÁREA MATEMÁTICAS

“Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo”. Galileo Galilei

ALGEBRA GRADO NOVENO 2012

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Contenido UNIDAD 1 ................................................................................................................................. 5 DE LO REAL A LO COMPLEJO ............................................................................................... 5 LOS NÚMEROS IRRACIONALES Y LOS NÚMEROS REALES ............................................ 6 EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO REAL ................................................................. 8 POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES........................................................................... 9 EXPONENTES RACIONALES ............................................................................................ 10 NÚMEROS IMAGINARIOS Y COMPLEJOS ......................................................................... 16 NÚMEROS IMAGINARIOS ................................................................................................. 16 OPERACIONES ENTRE NÚMEROS IMAGINARIOS ......................................................... 17 NÚMEROS COMPLEJOS ................................................................................................... 20 CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO .................................................................... 21 OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS ............................................................... 22 UNIDAD 2 ............................................................................................................................... 26 RELACIONES Y FUNCIONES ............................................................................................... 26 RELACIONES Y PROPORCIONES.................................................................................... 27 ELEMENTOS DE UNA FUNCIÓN ...................................................................................... 31 FUNCIÓN LINEAL............................................................................................................... 32 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ............................................................................. 36 ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA ......................... 36 ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.......................................................... 38 MÉTODO GRÁFICO. .......................................................................................................... 38 MÉTODO DE SUSTITUCIÓN. ............................................................................................ 42 MÉTODO DE IGUALACIÓN ............................................................................................... 43 MÉTODO DE REDUCCIÓN O ELIMINACIÓN. ................................................................... 45 REGLA DE CRAMER.......................................................................................................... 46 UNIDAD 3 ............................................................................................................................... 49 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ............................................................................. 49 PROBLEMAS CON ECUACIONES DE DOS INCÓGNITAS .............................................. 50 SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS PROPIAS E IMPROPIAS ....................... 52 CLASIFICACIÓN Y SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA ........................................................................................................................ 52

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FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA .................................................................... 62 FUNCIÓN EXPONENCIAL ................................................................................................. 64 FUNCIÓN LOGARÍTMICA ...................................................................................................... 67 UNIDAD 4 ............................................................................................................................... 70 SUCESIONES Y PROGRESIONES ....................................................................................... 70 EXPLORANDO EN EL MUNDO DE LAS MATEMÁTICAS ................................................. 71 SUCESIONES ..................................................................................................................... 73 TIPOS DE SUCESIONES ................................................................................................... 74 TÉRMINO GENERAL O TERMINO N-ÉSIMO........................................................................ 76 PROGRESIONES ............................................................................................................... 80 Interpolación de términos en una progresión aritmética ...................................................... 81 PROGRESIONES GEOMÉTRICAS .................................................................................... 84 Interpolación de términos en una progresión geométrica.................................................... 86 BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................... 93

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PRESENTACIÓN Este módulo conserva la filosofía y la metodología sobre las cuales se concibió y desarrolló la primera edición de esta obra, en él se abarcan los conceptos básicos, definiciones, ejercicios, gráficas y métodos matemáticos en forma clara y concisa, las explicaciones se han reducido al mínimo a favor de la exposición de ejemplos concretos, pretendiendo el desarrollo de una clase activa, lo cual ayuda muchísimo en el análisis de situaciones propuestas. El objetivo de este módulo es ofrecer al estudiante un conocimiento que le permita disfrutar leer y aprender los conceptos de las matemáticas, para ello se emplean oraciones reducidas, explicaciones claras y ejemplos resueltos. Así mismo a lo largo de todo el texto se ofrecen aplicaciones prácticas que facilitan la comprensión de los conceptos expuestos. Las matemáticas en su esencia han sido estudiadas y desarrolladas por hombres que a lo largo de la historia dejan un legado de escuelas constructoras de esta ciencia: Pitágoras es uno de los más antiguos y famosos matemáticos. Todo el mundo recuerda su famoso teorema. Pero las Matemáticas le deben a Pitágoras y a los pitagóricos mucho más. Ellos son los que pusieron las primeras piedras científicas no solo de la Geometría sino también de la Aritmética, de la Astronomía y de la Música. Pero antes de Pitágoras otras dos culturas habían desarrollado unas matemáticas prácticas muy potentes: los babilonios y los egipcios. René Descartes utilizó las ciencias y las matemáticas para explicar y pronosticar acontecimientos y fenómenos del universo. Sin duda Newton es el autor del primer paso de la carrera espacial. Las Leyes descubiertas por él son las que han permitido al hombre poner un pie en la Luna o enviar naves a Marte y Venus, explorar los planetas exteriores: Júpiter, Saturno, Neptuno y Urano. Su modelo de telescopio ha permitido ver más lejos en el cielo. Él junto a Leibniz, fueron los pioneros en el desarrollo de la más potente y maravillosa herramienta matemática: el Cálculo. Son muchísimos los pensadores que a lo largo de la historia han contribuido al desarrollo de las matemáticas y han ampliado esta ciencia dividiéndola en disciplinas que permiten el desarrollo científico y la comprensión del universo. Comité Área de Matemáticas

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UNIDAD 1 DE LO REAL A LO COMPLEJO UNIDAD 1 DE LO REAL A LO CO

PROPÓSITO Identificar las relaciones y diferencias entre los diferentes conjunto de los números reales y realizar operaciones aplicando sus propiedades.

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LOS NÚMEROS IRRACIONALES Y LOS NÚMEROS REALES Desde los tiempos remotos los humanos para contar objetos utilizaron los números. Estos son los números naturales que se representan por la letra N La cantidad de números naturales es infinita. El término número natural aparece por primera vez en 1763 en the method of increments de Willian Emerson. El cero lo inventaron los indios (India) por el año 500, los indios denominaban a este símbolo sunya que quiere decir “vacío”. Los árabes que tenían relaciones comerciales con la india, aprendieron la numeración india y la divulgaron en occidente. Los árabes lo denominaron cefer que en su idioma quiere decir “vacio” Esta palabra dio origen al castellano cero y cifra. La introducción de los números negativos es muy reciente. La mayoría de los matemáticos de los siglos XVI y XVII no aceptaban los números negativos. Consideraban absurdo restar 12 de 0, y cuando una ecuación daba raíces negativas se consideraba esa solución como imposible. Un argumento de peso en contra de los números negativos se deriva de la proporción (¿Cómo va ser un menor a un mayor como un mayor a un menor?). La cantidad de números es infinita y hay misma cantidad de números naturales que de números enteros. Posteriormente, y también probablemente debido a las relaciones comerciales, aparecieron los números que representan trozos de un todo que se ha dividido en partes iguales. Estos números se llaman Racionales y se representan por Q. La cantidad de números irracionales es infinita y hay la misma cantidad de números naturales que de números racionales. Los números racionales nos producen problemas porque no los “vemos” como un número, sino como un número dividido por otro. Los únicos números que había en los tiempos de Pitágoras eran los números naturales. Lo que hoy conocemos como números fraccionarios eran considerados como una proporción entre números. Un problema que se les presentó a los pitagóricos cuando intentaron medir la diagonal de un cuadrado de lado 1 es que no se podían expresar con los números que tenían. Era una longitud inconmensurable. Se dice que prohibieron revelar este descubrimiento a sus discípulos, porque ellos defendían que todo se podía reducir a un número. El primer número no racional que se descubrió fue y el segundo . Estos números se llaman irracionales algebraicos, porque se pueden obtener del algebra, por ejemplo se deduce de x2 = 2 y junto con los números trascendentes, los que no se pueden obtener del algebra, por ejemplo y el número e forman los números reales, se

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representan por R, la cantidad de números reales es infinita pero hay más números reales que naturales. El término número reales fue utilizado por Descartes en 1637. HISTORIAS DE PI Si las matemáticas tienen algún número emblemático ese es PI: 3,141592… La figura de Ramanujan, un joven indio sin formación universitaria está íntimamente ligada al número pi. A principio de siglo descubrió nuevas series infinitas para obtener valores aproximados de pi. Las mismas que utilizan los grandes ordenadores para obtener millones de cifras de este familiar y extraño número. Pero el verdadero padre de pi es un matemático griego de hace 2.300 años, Arquímedes. Él descubrió la famosa fórmula del área del círculo: A = p· r2 . Y también el volumen y el área de la esfera. De paso invento el primer método para obtener valores aproximados de pi aproximando el círculo mediante polígonos de un número creciente de lados. Pero pi no sólo aparece en matemáticas cuando se habla de círculos o esferas, su presencia en relaciones numéricas, en el cálculo de probabilidades y hasta en estudios estadísticos la confieren una omnipresencia casi mágica. La resolución de ecuaciones del tipo x2 + 2 = 0, planteo el mismo problema que se les presento a los pitagóricos, no existe ningún número, de los que hemos visto, que cumplan con esta condición, por lo que fue necesario plantear otro tipo de números que llamamos Complejos y se representa por C.

¿EN QUE SE APLICA? El conjunto de los números reales enriquece el campo de las aplicaciones de las matemáticas y en la actualidad es fundamento de varias teorías, porque ha contribuido al avance y desarrollo de las ciencias físicas. Sobre este conjunto se trabaja el cálculo integral y diferencial y es un instrumento poderoso para solucionar problemas que surgen en física, astronomía, ingeniería, química y en otros campos, incluyendo algunos de las ciencias sociales.

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TENIENDO COMO BASE EL TEXTO ANTERIOR CONTESTAR LAS SIGUIENTES PREGUNTAS 1. ¿Cómo se crearon los números enteros, cual es su símbolo y de donde proviene el símbolo? 2. ¿Cómo denominaban los indios el cero? ¿Qué significa? 3. ¿Qué palabra dio origen al castellano cero y cifra? 4. ¿cuándo consideraban una solución como imposible los matemáticos de los siglos XVI y XVII? 5. ¿Que son los números racionales y como se simbolizan? 6. ¿Cuáles fueron los primeros números irracionales? 7. ¿Que son los números trascendentes? 8. ¿Quién uso el término números reales y en qué fecha? 9. ¿Por qué se crearon los números complejos? ¿cómo se representan? 10. ¿Cuántas proposiciones tiene la lectura?

EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO REAL Cualquier número racional (Q) puede representarse por un número decimal periódico. Para expresar un número racional en forma decimal se divide el numerador entre el denominador en la forma usual. Y cualquier decimal periódico, puede representarse por un número racional Por ejemplo: 13 = 3,25 0,212=7 4 33 Sin embargo también existen expresiones decimales como: 0,100100010000…

01,123456789101112…

3,14159265358979323846

Que son infinitas no periódicas: Estas expresiones decimales corresponden a los números irracionales (I) Son irracionales por ejemplo: todas las raíces no exactas, los números π = 3,14159265358979323846

e= 2.71828182

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POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES Para todo número real a: a

n

= a x a x a x ax … x a (n veces)

Propiedades:

ao = 1 para todo a ≠ 0 = a m-n

am . a n = a m+ n (a m)n = a m . n

)n=

(ab)n = a n b n

a–n =

,a≠ 0

RADICALES Si a, b Є R y n es un número entero positivo tal que b n-ésima de a. Se escribe,

=

=a x

n

= a, entonces b se llama la raíz

= =

=

Radicales semejantes: Dos radicales son iguales si tienen el mismo índice y la misma cantidad subradical Operación con radicales: Para operar los radicales se deben tener en cuenta: Sólo se pueden sumar o restar radicales semejantes Sólo se pueden multiplicar o dividir radicales del mimo índice

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EXPONENTES RACIONALES Si m y n son enteros con m ≠ n y n › 0, entonces

=

,

si empre y cuando exista

y a y m no sean ambos iguales a cero. ALGUNOS NÚMEROS IRRACIONALES IMPORTANTES Dos magnitudes son conmensurables si la razón entre sus medidas se puede expresar como un número racional. En cambio son magnitudes inconmensurables aquellas que no se pueden expresar como el cociente de dos números enteros. En la práctica, siempre podemos comparar dos magnitudes y encontrar una razón exacta o aproximada entre sus medidas. Pero siendo riesgoso no siempre es posible. Además de las raíces cuadradas de números que no son cuadrados perfectos, hay otros números irracionales de gran importancia como son: el número , que corresponde a la razón entre la medida de la circunferencia y el diámetro; también el número áureo y el número e, bese de los logaritmos neperianos. Numero Uno de los problemas clásicos de la antigüedad consistía en tratar de encontrar un cuadrado cuya área fuera igual a la de un círculo. Este problema se conocía como la cuadratura de un círculo. Este problema rondo en las cabezas de los matemáticos durante más de 20 siglos sin encontrar respuesta alguna. Pero los intentos por resolverlo contribuyeron a enriquecer la matemáticas. La respuesta a este problema está relacionada con el número conocido . Esta griega representa la razón entre el perímetro de la circunferencia y el diámetro

= Es más conocida la siguiente expresión:

Perímetro = 2

r

Donde r es el radio de la circunferencia. Para hallar el valor de consideramos una secuencia de polígonos regulares inscritos en una circunferencia.

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Entre mayor sea el número de lados del polígono inscrito, su perímetro es más próximo al de la circunferencia. Podría considerarse la circunferencia como un polígono con infinito número de lados. La siguiente tabla muestra los valores aproximados de la razón entre el perímetro y el doble del radio de valor uno o diámetro. Numero de lados

3

Perímetro 5,19 Perímetro sobre el 5,595 doble del radio

4

5

6

8

5,65 2,825

5,87 2,935

6 3,0

6,12 3,06

El valor aproximado del número Si continuamos el proceso obtendríamos un valor de cada vez más preciso, lamentablemente este procedimiento no tiene fin, de modo que no sabremos cuales el valor exacto de sin embargo consideremos como una buena aproximación, el número

= 3,1416 El valor de e: Aunque existen infinidades de número irracionales, el número conocido como e es muy importante en la matemática. Su descubrimiento fue posterior al número . Se escogió la letra e en memoria del matemático suizo Leonard Euler (1707 - 1783) y se conoce como “numero Euler”. La demostración de su irracionalidad fue dada en 1873 por Charles Hermite. Hay una formula sencilla para calcular su valor: e= En donde el símbolo Se conoce como factorial y representa el producto del número entero por su antecesor hasta el uno. 3 = 3x2x1 = 6 6 = 6x5x4x3x2x1 = 720

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MODELACIÓN Otra manera de representar el número e es:

e = (1 +

)n cuando n es muy grande Veamos la siguiente tabla: n e = (1 +

)n

1 2

2 2,25

3 4 8 2,37 2,44 2,56

10 2,59

100 2,70

1000 10000 2,7169 2,7181

El numero e tiene muchas aplicaciones en el campo del cálculo y el análisis. Uno de sus usos se da en los logaritmos. Los logaritmos más utilizados tienen base 10 (logaritmos vulgares) y base e (logaritmos naturales). Los logaritmos naturales o neperianos son muy utilizados y su notación es Ln que es log e es decir, logaritmo en base e.

RECUERDA: Números naturales (N): números con los que contamos. También se llaman enteros positivos:{1,2,3,…} Números enteros (Z): es el conjunto de todos los números naturales con sus opuestos (negativos) y el cero: {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} Números racionales (Q): conjunto formado por todos los números que se pueden escribir en la forma a/b, donde a y b son enteros, y b ≠ 0 Números irracionales (I): conjunto formado por todas las raíces no exactas de números naturales y en general por números que no se pueden expresar como el cociente de dos enteros: {¶, e, √2, √3, … } Números reales (R): Conjunto formado por la unión de los racionales y los irracionales.

Escribe en cada casilla a cuál de los conjuntos numéricos pertenecen cada número. N

Z

Q

I

C

-6

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e Resuelve cada una de las ecuaciones y di a que conjunto numérico pertenece. x+2=3 4x = 2 x+8=4 x2 = 2 4x = 16 x2 = -1 Consulta: 1. ¿Qué característica tiene un número irracional? 2. Escribe tres números irracionales con una aproximación de 10 cifras decimales 3. Completa la siguiente tabla que relaciona radio y perímetro. Radio (cm) Perímetro

3,1

5,4

9,1

9,2

11,5

12,8

(P=2 r) 22,9

30,1 40

4. Halla el valor de e para n = 5, para n =7 y n = 9 5. Hallar los siguientes números factoriales a.6

b. 5

c. 11

d. 9

e. 0

6. Resuelve el siguiente problema: Cinco elefantes = dos cerditos Un cerdito + un gato = un perro Un elefante + un gato= una cebra Cuatro cerditos + dos elefantes = dos perros Cuatro cebras + tres perros = cinco gatos + siete cerditos + un elefante Si cada elefante vale 2, ¿Cuáles son los valores de cebras, perros, gatos y cerditos? 7. De la siguiente serie de raíces cuadradas indica cuáles representan números racionales y cuáles números irracionales

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Q I

Q I

8. ¿Cuáles de los irracionales? a. b. c. d.

siguientes

decimales

representan números racionales y cuales

0,500500500500… 0,1234567890112345678… 3,142857142857142857… 1,2112111211112111112…

9. En cada una de los siguientes ejercicios aplica las propiedades de la potenciación y simplifica: 3

(-3) =

-2-1 + (-1)2 = (x3)4 (y3)4 (x3)6=

=

(

)4 =

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NÚMEROS IMAGINARIOS Y COMPLEJOS NÚMEROS IMAGINARIOS A lo largo de nuestros estudios de los sistemas numéricos hemos encontrado que cada vez que deseamos resolver ecuaciones más complejas, el conjunto numérico en el cual se plantea ecuaciones es limitado y la solución no cae dentro de dicho conjunto. Así paso con los números naturales, fue necesario ampliar los números a los números enteros para resolver ecuaciones de la forma a + x = b en el cual a > b. las ecuaciones multiplicativas en los enteros no todas tienen solución en este conjunto, fue necesario ampliar a los números racionales para encontrar la solución a las ecuaciones de la forma ax = b. En forma similar al tratar de resolver ecuaciones en los números racionales encontramos que ecuaciones de la forma x2 = 2, no tienen solución en los racionales porque x = √2 no es un número racional. Nuestro nuevo conjunto fue el de los números reales. Con la ecuación x2 + 1 = 0 en el conjunto de los números reales sucede algo similar. Las ecuaciones de la forma x2 + a = 0 no tienen solución, cuando a > 0 pues x2 = -a de donde x = . Como no existe un número real que al elevarlo al cuadrado, de cómo resultado un numero negativo, es necesario extender el conjunto de los números reales de tal manera que esta ecuación tenga solución. Definimos como i la solución de x2 + 1 = 0 es por lo tanto que x = i De igual manera la solución de la ecuación x2 + 4 = 0 tiene por solución x= como = =

; entonces 2i es un número imaginario.

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OPERACIONES ENTRE NÚMEROS IMAGINARIOS Las operaciones entre números imaginarios son las mismas operaciones entre números reales. Adición y sustracción de números imaginarios Los números imaginarios se suman con el procedimiento de reducción de términos semejantes:

MODELACIÓN Hallar la suma de: 9i con 3i -29i con 15i 15i con – 45i Solución: 9i con 3i = 12i -29i con 15i = -14i 15i con – 45i = -30i Producto de números imaginarios En la multiplicación de números imaginarios debemos tener en cuenta el producto de potencias de igual base y encontrar los valores de la potencia de i. Las potencias de i son: 1, -1, i, -i i3 = i2 x i = -1 xi =-i i4 = i2xi2 = -1x-1=1

i=

i2 =

Primera potencia

Segunda potencia Tercera potencia

= -1

Cuarta potencia

Las potencias de i mayores que cuatro toman uno de los valores ya conocidos de las potencias menores o igual que 4. i5 = i4 x i = 1 x i = i

MODELACIÓN Hallar los siguientes productos 6i2 x 2i3 12i3 x 4i Solución (6x2)(i2 x i3) = 12((-1)(-i)) reemplazamos según la tabla ya vista = 12(i) = 12i

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PGF03-R03 (12x4)(i3 x i) = 48i4 = 48(i2 x i2) = 48((-1)(-1)) = 48(1) = 48 La idea es reemplazar la con la ayuda de la tabla, que son los valores ya conocidos. Cociente entre números imaginarios: Se aplica el cociente de potencias de igual base y se escribe la potencia de i que resulta según los cuatro valores conocidos.

MODELACIÓN Hallar los siguientes cocientes b.

c.

Solución:

(8 4)(i4-2) = 2i2 = 2(-1) = -2 (12 4)(i3-6) = 3i-3

=

debemos convertir el exponente en positivo. 3

reemplazando según la tabla i = - i

=i5-6 = i-1 =

=

Observaciones La suma o diferencia de dos números imaginarios es otro numero imaginario. Siempre y cuando no sean opuestos aditivos. El producto o cociente de números imaginarios puede ser un número real o un número imaginario.

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1. Hallar la solución de las siguientes ecuaciones expresando las cantidades imaginarias. a. x2 + 1 = 0 b. x2 + 16 = 0 c. 2x2 + 1 = 0 d. x2 + 25 = 0 e. x2 + 4 = 0 f. 5x2 + 625 = 0 2. Realizar las siguientes sumas de números imaginarios a. 9i + 11i + 6i b. -15i + 32i – 16i c. 27i + 192i – 4i d. 18i – 43i + 55i e. 17i + 56i+ 18i f. -28i – 64i – 5i – 11i g. -29i + 55i – 18i + 37i h. 79i – 87i – 65i – 120i i. 450i – 335i + 887i – 1150i 3. Realiza las siguientes multiplicaciones de números imaginarios a. 7i x 2i2 b. -5i3 x 4i c. 10i x 30i d. 25i x 7i e. 6i x (3i – 2i) f. 12i x 23i x (-5i) g. i x i x i2 h. 33i x (-115i) i. 5i2 x 121i2 4. Realizar las siguientes operaciones a. b. c. d. e.

(-4i + 7i) x (12i + 7i) (-4i) – 8i) x (-119i + 16i) (-5i + 12i) x (6i + 9i) (34i + 11i) x (-7i - 21) (34i + 11i) x (-2i -13i)

5. Encuentra el valor el valor de las potencias negativas de i: a. i-1 b. i2 c. i-3 d. i-4 e. i-5

f. i-6

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NÚMEROS COMPLEJOS Un número complejo es una expresión que consta de un número real sumado a un número imaginario.

MODELACIÓN 8 + 12i -6 + 7i 4 – 9i En general los números complejos son de la forma a + bi donde a y b son números reales e i es el imaginario y el conjunto que los contiene es C. a + bi es un número complejo y 0 + bi también es un numero complejo. El sumado real del número complejo se llama parte real, y el término que contiene a la i se llama parte imaginaria.

En el numero 6 + 8i la parte real es 6 y la parte imaginaria es 8i. IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS Dos números complejos son iguales si sus respectivas partes reales y partes imaginarias son iguales entre sí: a + bi = c + di si y solo si a = c y bi = di

MODELACIÓN Si los números complejos 2m + (5n - 1)i y 4 – 2i son iguales, encontrar el valor de m y n Solución Por definición las partes reales deben ser iguales entonces 2m = 4 m=

=2

Igual con las partes imaginaria 5n – 1 = -2 5n = -2 + 1

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5n = -1 n=

CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO El conjugado de un número complejo es otro número complejo que tiene igual la parte real pero la parte imaginaria es el opuesto aditivo. El conjugado de a + bi es a – bi y se denota con una raya arriba del numero complejo = a - bi

MODELACIÓN Hallar el conjugado de los siguientes números complejos 12 + 4i -6 + 8i 13 – 9i -8 – 10i Solución: = 12 – 4i = -6 – 8i = 13 + 9i = -8 + 10i

ORDEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Para poder establecer un orden en cualquier conjunto debemos estar en capacidad de decidir cuando un número es mayor que otro. Entre dos números complejos, no podemos decidir cuando un número es mayor, por ello se dice que el conjunto de números complejo no está ordenado.

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OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS Adición y sustracción con números complejos La adición y la sustracción con números complejos se realiza de idéntica forma a la de reducción de términos semejantes, basta sumar respectivamente sus partes reales e imaginarias. Se conmutan los términos y se reducen términos semejantes, así. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

MODELACIÓN (2 + 3i) + (6 – 8i) (-5 -12i ) + (5 + 13i) Solución: (2 + 6) + (3 - 8)i = 8 + (-2i) = 8 – 2i (-5+5) + (-12 +13)i = 0 + i = i Producto de números complejos Para realizar el producto entre números complejos se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición y sustracción. MODELACIÓN Multiplicar (7 – 6i) x (3 – 9i) Solución Se multiplica cada uno de los términos del primer factor por los términos del segundo factor, así: (7 – 6i) x (3 – 9i) = 7 x (3 – 9i) – 6i(3 – 9i) = 21 – 63i – 18i + 54i2 se realizo el producto respectivo y debemos tener en cuenta 2 que i = -1 luego tenemos, = 21 – 63i – 18i + 54(-1) = 21 – 63i -18- -54 Reducimos temimos semejantes = -33 – 81i (7 – 6i) x (3 – 9i) = -33 -81i En general, si a + bi y c + di son números complejos el producto (a + bi) x (c + di) = (ac - bd) + (ad - bc)i

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División de números complejos Para realizar la división entre números complejos se escribe la división como un cociente indicado luego se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador.

MODELACIÓN Efectuar (4 + 5i)

(3 – 2i)

Solución: Se escribe la división en forma de (4 + 5i) fracción

(3 – 2i) =

Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador Se efectúa el producto

Se observa que en el denominador la parte imaginaria desapareció ya que al multiplicar un complejo por su conjugado este da un número real.

1. Al sumar un número real con un número imaginario a que conjunto pertenece este nuevo número. 2. Explica la razón matemática del surgimiento de los números enteros, racionales, reales y complejos. 3. Determina la parte real y la parte imaginaria de los siguientes números complejos. a. 11 +5i b. -6 + 8i c. 4i + 5 d. 16i -18 e. 18 – 2i f.

- 9i

g.

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4. Analiza las siguientes afirmaciones y determina si son falsas o verdaderas y justifícalas con un ejemplo. a. Todo número real es complejo b. Todo número imaginario es complejo c. Algunos números reales son imaginarios d. Algunos números complejos son reales e. El cero no es complejo f. El producto de un número real y un imaginario es un número complejo g. Es lo mismo 2 + 6i que 6i + 2 por la propiedad conmutativa

5. Hallar el valor de x e y de manera que cumpla la igualdad. a. 11x + 9yi = 33 – 27i b. 6x + 7yi = -45 – (3 + 28i) c. 4x + yi = -21 d. (x - 1) = +8yi = -10 – 46i

6. Hallar el conjugado de: a. 9 – 8i e. -100 – 2i

b. -12 + 9i f. 65

c. 13 – 4i

d. -12 – 16i

g. -5i

h. -

7. Responde y justifica con un ejemplo: a. ¿Cuál es el conjugado del conjugado de m + ni? b. ¿Dos complejos distintos pueden tener el mismo conjugado?, Explica c. ¿El conjugado de un número complejo puede ser el mismo número? d. ¿Todo número complejo tiene conjugado? e. ¿Al intercambiar la parte real con la imaginaria se obtiene el conjugado? f. ¿Puedes encontrar un subconjunto de C que este ordenado?

MATEMÁTICAS – Algebra 9 24

PGF03-R03

8. Realiza las siguientes sumas de números complejos. a. (5 + 9i) + (6 + 8i) b. (-4 – 2i) + (- 7 + 2i )

b. (-16 + 5i) + (12 + 2i) d. (110 + 15i) + (-8 – 47i)

c. (27 + 33i) + (2 + 16i)

d. (

)+(

f. (9 + 4i) + (-4 -

)

)

g. (

) + (-

)

9. Realiza los siguientes productos. a. (2 – 5i) x (22 + 2i) d. (18 + 5i) x (

b. (5 + 4i) x (6 – 6i) )

e. (

)x

c. (7 – 8i) x (8 – 5i) )

10. Realizar los siguientes cocientes a.

b. b.

c. c.

d. d.

MATEMÁTICAS – Algebra 9 25

PGF03-R03

UNIDAD 2 RELACIONES Y FUNCIONES

PROPÓSITOS Propósito Soluciona sistemas de ecuaciones lineales por cualquier método; gráfico, reducción, sustitución, igualación. Analizar y resolver problemas que originan sistemas de ecuaciones lineales.

MATEMÁTICAS – Algebra 9 26

PGF03-R03

RELACIONES Y PROPORCIONES Todo aquello susceptible de ser medido es una magnitud, el largo de una cancha de futbol, la edad de una persona, la velocidad de un automóvil, el peso de un objeto, la corriente eléctrica que circula por un conducto, la presión del aire, el volumen de un cuerpo, son todas magnitudes por que se pueden medir con una unidad patrón. Los fenómenos de la naturaleza, los experimentos científicos y las acciones de la vida cotidiana relacionan unas magnitudes con otras. En algunos casos encontrar la ley o regla que rige a esta relación es algo difícil pero en la mayoría de los casos una sencilla fórmula matemática expresa la ley que relaciona dos o más magnitudes. En la vida cotidiana encontramos a menudo situaciones de relaciones y correspondencia entre elementos de dos conjuntos diferentes así: 

Al entrar a un supermercado, a cada artículo le corresponde un precio único.



Dentro del flujo de carros de cualquier ciudad a cada automóvil le corresponde un único número de placa.



A cada cuerpo sólido le corresponde un valor por su volumen, etc.

La ciencia establece relaciones y correspondencias entre los diferentes fenómenos de la naturaleza para poder establecer diferentes pronósticos, y así llevar a cabo las funciones entre dos o más variables. Una vez que se obtengan resultados se pueden representar en gráficas para mirar el crecimiento o decrecimiento de una situación dada.

MATEMÁTICAS – Algebra 9 27

PGF03-R03

Proporcionalidad directa. Dos magnitudes X e Y, se dicen que son “directamente proporcionales entre sí”, o que están a razón directa, si al aumentar(o disminuir) la magnitud de una de ellas, aumenta(o disminuye proporcionalmente la magnitud de la otra. La relación de proporcionalidad directa entre dos variables X e Y se define matemáticamente por la ecuación: X es directamente proporcional con Y sí y solo si:

k

x y

Proporcionalidad inversa. Dos magnitudes X e Y, se dicen que son inversamente proporcionales entre sí, sí al aumentar(o disminuir) la magnitud de una de ellas, disminuye(o aumenta proporcionalmente la magnitud de la otra. La relación de proporcionalidad directa entre dos variables X e Y se define matemáticamente como sigue: X es inversamente proporcional con Y sí y solo si: X Y= k 5. Problemas de proporcionalidad. Todo problema de proporcionalidad implica una relación entre dos variables X y Y, donde se presenta tres datos conocidos (a, b y c) y se pregunta por un cuarto dato desconocido (x). Esta información se pude ser resumir en una tabla como sigue: Variables

X

Y c

a Datos b

x

Sí la relación que se establece entre las variables X e Y es directamente proporcional, al valor de la incógnita se determina con el producto cruzado de los datos; y si son inversamente proporcionales, se determina con los productos paralelos como se muestra en los esquemas a continuación:

MATEMÁTICAS – Algebra 9 28

PGF03-R03

X es directamente proporcional con Y sí:

X es inversamente proporcional con Y sí:

Dir. VAR: X a b

Y c x

Inv. b c  datos no ligados a

VAR:

X a

Y c

b

x

 datos ligados a

ac x = ------b

ax = bc x = b.c a

MATEMÁTICAS – Algebra 9 29

PGF03-R03

1. Si 12 litros de pintura cuestan $24.000, ¿cuánto costarán 9 litros? 2. Si 20 mecánicos arman 12 máquinas en un día. ¿Cuántos mecánicos se necesitan para armar en un día 4 máquinas? 3. En un establo con 50 animales, el alimento dura 18 días. ¿Para cuantos días alcanzaría la misma cantidad de alimento si los animales fueran 70? 4. Un grifo que da 0,7 litros de agua por segundo llena un estanque en 14 horas. ¿Cuánto tiempo tardaría en llenarlo un grifo que da 0,6 litros por segundo? 5. Para alimentar 2 caballos durante 20 días se necesitan 174kg de alimento. ¿Cuántos kg. de alimento se necesitarán para alimentar 15 caballos durante 40 días? 6. Un caminante recorre 120 km andando 8 horas diarias durante 5 días. ¿Cuántas horas diarias tendrá que caminar para recorre 192 km en 12 días?

Producto Cartesiano: En teoría de conjuntos, el producto cartesiano es un producto directo de conjuntos. En particular, el producto cartesiano de dos conjuntos X y Y, denotado por X × Y, es el conjunto de todos los pares ordenados en los que el primer componente pertenece a X y el segundo a Y: El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto.

MATEMÁTICAS – Algebra 9 30

PGF03-R03

ELEMENTOS DE UNA FUNCIÓN Una función es una manera de relacionar dos magnitudes de forma unívoca. La primera de esas magnitudes se denomina variable independiente y la segunda variable dependiente. Los dos principales elementos de una función son los posibles valores que pueden tomar ambas variables (dependiente e independiente). Se llama Dominio de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. El dominio de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: D(f), Dom(f). Se llama Recorrido, Rango o Imagen de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores que puede alcanzar la función. El recorrido de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: R(f), Rango(f), Im(f)

Escriba 5 ejemplos de relaciones o funciones de la vida cotidiana

MATEMÁTICAS – Algebra 9 31

PGF03-R03

FUNCIÓN LINEAL Las funciones que se representan mediante rectas son las lineales. Su expresión general es:

y

mx b

Donde m es la pendiente de la recta, es decir, un valor que indica la variación de la y por cada unidad que aumenta la x. La representación gráfica de la función f, es una recta cuya pendiente es el coeficiente de x e intercepta al eje y en el punto b También se representan mediante rectas las funciones constantes, y = k. Son funciones lineales con pendiente cero. Un conjunto de ecuaciones lineales se llama “Sistema de Ecuaciones Lineales”; donde están los sistemas de 2x2 los cuales son de dos ecuaciones y dos incógnitas o los sistemas de ecuaciones de 3x3 que son los de tres ecuaciones y tres incógnitas. Pendiente de una recta (m). La pendiente de una recta que pasa por el origen P (0,0) y cualquier otro punto del plano, se puede calcular aplicando la definición de pendiente para dichos puntos.

MODELACIÓN 1. si la recta pasa por P1 m

y2 x2

y1 x1

4 0 3 0

3,4 y por el origen P0

0,0 , la pendiente será

4 3

Significa que por cada tres unidades de avance vertical, la recta avanza horizontalmente cuatro unidades.

La pendiente de una recta también se puede expresar en porcentajes. Así, una pendiente de 3 equivale al 75% de pendiente. 4

MATEMÁTICAS – Algebra 9 32

PGF03-R03

MODELACIÓN 2. Si la recta pasa por el origen P0 pendiente será: y2 x2

m

y1 x1

0 8 0 ( 2)

0,0 y por el punto P1

2,8 , la

4

Observa que el valor de la pendiente no depende del cuál punto se tome como coordenadas

P2

x2 , y2

y cuál como coordenadas

P1

x1 , y1

CONCLUSIONES Si x representa cualquier variable independiente y y representa la variable dependiente y si la relación entre y y x es tal que su representación gráfica es una recta, la ecuación que expresa a y en función de x es:

y y

mx b .

f (x) Se lee, y en función de x:

f ( x) mx b ; y

mx b .

Donde m es la pendiente de la recta y b es el punto de intersección de la recta con el eje y.

1. Escribe la unidad en que se mide cada una de las siguientes magnitudes: Temperatura

* Calor

* Tiempo

* Energía

2. Representa cada parejas de rectas en un plano de coordenadas cartesianas:

a. y

3x ;

y

3x 1

MATEMÁTICAS – Algebra 9 33

PGF03-R03

3. ¿Cada pareja de rectas tienen la misma pendiente?

4. Dibuja las rectas que pasan por los puntos p1 = (1,2) y p2 = (7,11). a. Dibuja el triangulo rectángulo cuya hipotenusa tiene por extremos los puntos p1 y p2 b. Traza los catetos determinados por el avance vertical y el avance horizontal de la recta. c. Calcula el valor del avance vertical y del avance horizontal. d. Divide el avance vertical entre el avance horizontal. e. Encuentra el valor de la pendiente.

5. Calcula el valor de las pendientes de las rectas que pasan por el origen P0 el punto dado a continuación:

0,0 y por

MATEMÁTICAS – Algebra 9 34

PGF03-R03

6. Se compra cierta mercancía a crédito. Se abona el 25% de cuota inicial y el saldo se paga en cuotas del 5% mensual. a. Haz una grafica del porcentaje pagado de la mercancía contra tiempo b. ¿En qué punto corta la recta al eje vertical? c. ¿Cuál es la pendiente de la recta?

7. En la siguiente gráfica, encuentra la pendiente de cada recta:

MATEMÁTICAS – Algebra 9 35

PGF03-R03

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Para la solución de ecuaciones de primer grado tener en cuenta los siguientes pasos: 1º Quitar paréntesis. 2º Quitar denominadores. 3º Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro. 4º Reducir los términos semejantes. 5º Despejar la incógnita.

1. Solucionar las siguientes ecuaciones: a. b. c.

d. e . 6 X + 7 = 7X + 6

MATEMÁTICAS – Algebra 9 36

PGF03-R03

2. Solucionar los siguientes problemas (PLANTEA LA ECUACIÓN RESPECTIVA Y SOLUCIONA VERIFICA TU RESPUESTA)

Desde el siglo XVII aC. Los matemáticos de Mesopotamia y de Babilonia ya sabían resolver ecuaciones de primero y segundo grado. Además resolvían también, algunos sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incógnitas En el siglo XVI aC. Los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental que usaron para resolver problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales. Ya para entonces tenían un método para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el "método de la falsa posición". No tenían notación simbólica pero utilizaron el jeroglífico hau (que quiere decir montón o pila) para designar la incógnita. Alrededor del siglo I dC. Los matemáticos chinos escribieron el libro Jiu zhang suan shu (que significa El Arte del cálculo), en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones de primero y segundo grado, así como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Con su ábaco (suan zí) tenían la posibilidad de representar números positivos y negativos. DEFINICIÓN: Se llama sistema de ecuaciones a un conjunto formado por más de una ecuación. Los sistemas se denotan de acuerdo con sus dimensiones. Si un sistema de m ecuaciones con n incógnitas el sistema se llama de dimensiones m x n.

MATEMÁTICAS – Algebra 9 37

PGF03-R03

ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS MÉTODO GRÁFICO.

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas x y y es de la forma: Las gráficas correspondientes a cada una de las ecuaciones, son líneas rectas. Al trazar estas dos líneas rectas en el mismo plano de coordenadas cartesianas se Pueden presentar las siguientes situaciones:

dada por las coordenadas del punto de corte.

Que las dos rectas se cortan. En este caso la solución del sistema de ecuaciones está

MATEMÁTICAS – Algebra 9 38

PGF03-R03

Que las dos rectas sean paralelas y no coincidan. En este caso como no hay punto de corte el sistema no tiene solución.

Que coincidan. En este caso el sistema tiene infinitas soluciones y se dice que las ecuaciones son equivalentes y que corresponden a la misma recta.

Una ecuación lineal con dos incógnitas representa una recta en el plano xy, de modo que un sistema de dos ecuaciones permite una representación gráfica como dos rectas en el plano xy, siendo la solución al sistema el punto de intersección de estas dos rectas.

Ejemplo:

Estas dos rectas se cortan en el punto (REALIZANDO LA TABULACIÓN RESPECTIVA Y GRAFICANDO TENEMOS):

MATEMÁTICAS – Algebra 9 39

PGF03-R03

Por tanto la solución es el punto de intersección, luego las coordenadas son:

MODELACIÓN: Resolver gráficamente el sistema de ecuaciones lineales: x

y

x 5y

9 25

Solución. Se trazan las gráficas de las dos ecuaciones en un mismo plano cartesiano y encontramos las coordenadas del punto de intersección, si existe. Las rectas se intersecan en el punto (5,4). Luego: la solución del sistema es el par de ordenado (5,4) o x = 5 y y = 4.

MATEMÁTICAS – Algebra 9 40

PGF03-R03

Cuando se resuelve gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables, al trazar las rectas en el mismo plano se presentan tres casos: 1. Las dos rectas se intersecan en un punto, cuando esto ocurre, el sistema se dice que es consistente y tiene una única solución, el punto de intersección.

2. Las dos rectas son paralelas: como las rectas no se intersecan, el sistema no tiene solución y se dice que es inconsistente.

3. Las ecuaciones son formas diferentes de expresar la misma recta. El sistema es consistente y tiene un número infinito de soluciones. El sistema también se dice que es dependiente.

1. Realizar un mentefacto conceptual sobre el método gráfico.

2. Resuelve gráficamente cada sistema de ecuaciones lineales. Clasifica cada sistema como consistente, consistente dependiente o inconsistente: a.

x 2x

y

8 y

1

4x 2 y 7

c.

x

b. 0

1 y 5 2

d.

9x 3y

7

3x 4 y

4

y

3x 5

6x 2 y

10

MATEMÁTICAS – Algebra 9 41

PGF03-R03

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN. Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución se procede de la siguiente forma: 

Se despeja en una de las ecuaciones, alguna de las variables.



Se reemplaza en la otra ecuación la expresión despejada,



Se resuelve la ecuación para la variable que quedó.

MODELACIÓN: Resolver por el método de sustitución el sistema de ecuaciones: 2x 3y 3x

7

y

1 7

2

Solución: En la ecuación 2 despejamos y: y 7 3x Reemplazamos esta expresión en la ecuación 1: 2x 3y

7

2 x 3( 7 3 x) 2 x 21 9 x 21 7 14 x

7

7

9x 2x

7x 2

Sustituimos x=2 en cualquiera de las ecuaciones:

3x

y

3(2) 6

7 y

y

y

7 6

y

1

7 7

Por tanto (2,-1) es la solución del sistema original.

MATEMÁTICAS – Algebra 9 42

PGF03-R03

1. Resuelve los siguientes ejercicios sustitución:

MÉTODO DE IGUALACIÓN Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de igualación se procede de la siguiente forma:  Se despeja en las dos ecuaciones la misma variable.  Se aplica la propiedad transitiva de la igualdad. Si x

a y x

b

a

b

 Se obtiene una ecuación con una sola incógnita.  Se resuelve la ecuación. MODELACIÓN 1. Resolver por igualación el siguiente sistema de ecuaciones: x

y

6x 3y

10 20

MATEMÁTICAS – Algebra 9 43

PGF03-R03

Solución: y

10

x

y

20 6 x 3

20 3

20 3

luego, 10 x 2x

2x

2x

20 10 3

x

10 3 Reemplazando en x + y = 10 x

10 3

y

y

10

y

40 3

10 10 3

1. Resolver

Luego,

10 40 , 3 3

los

siguientes

es la solución del sistema.

ejercicios

aplicando

el

método

de

igualación:

MATEMÁTICAS – Algebra 9 44

PGF03-R03

MÉTODO DE REDUCCIÓN O ELIMINACIÓN.  Si es necesario, se multiplica cada ecuación por una constante, de manera que los coeficientes en una de las variables sean iguales pero con un signo contrario.  Se suman las dos ecuaciones resultantes.  Se despeja la variable que quedó y se calcula su valor.  El valor de la variable se reemplaza en cualquiera de las dos ecuaciones y se calcula el valor de la variable que había sido suprimida inicialmente. MODELACIÓN 1. Resolver por reducción el sistema: x

y

5x

12 y

20

1 2

Solución:

x

y

5x x

12 y

20( 1)

y

x

y

12

2

y

12

y

10

Luego (2,10) es la solución del sistema

12

5x

y 4x

x

Reemplazando en 1:

20 8

2

1. Resuelve los siguientes ejercicios aplicando el método de reducción:

MATEMÁTICAS – Algebra 9 45

PGF03-R03

REGLA DE CRAMER La Regla de Cramer es un método de álgebra lineal para resolver sistemas de ecuaciones. Su base teórica no es tan sencilla como los métodos vistos hasta ahora y emplea el cálculo de determinantes de matrices matemáticas, y da lugar a una forma operativa sencilla y fácil de recordar, especialmente en el caso de dos ecuaciones con dos incógnitas. Aquí sólo veremos su forma de uso para resolver dos ecuaciones con dos incógnitas, sin entrar a discutir el origen de este método. Primero veremos un caso general y luego resolveremos un ejemplo. Partiendo de un sistema general de dos ecuaciones con dos incógnitas:

La matriz de los coeficientes de las incógnitas son una tabla de 2*2 en la que se encuentran los coeficientes de las incógnitas, ordenados por filas y columnas. En la primera fila los de la primera ecuación y en la segunda, los de la segunda ecuación. En la primera columna los de la primera incógnita y en la segunda, los de la segunda incógnita. El coeficiente de una incógnita en una ecuación ocupa una fila y columna determinadas; el cambio en el orden dentro de la matriz supone la modificación del sistema de ecuaciones, las matrices se representan entre paréntesis, como en el ejemplo:

El determinante de una matriz es una operación sobre esa matriz que da como resultado un escalar E, que depende de los términos de la matriz y el lugar donde estén situados:

En el caso de una matriz de 2*2, tenemos que el valor del determinante es el producto de los términos de la diagonal principal menos el producto de los de la diagonal secundaria:

MATEMÁTICAS – Algebra 9 46

PGF03-R03

Esta regla tan sencilla no se cumple en matrices de mayor dimensión y para su cálculo hay que tener ciertos conocimientos de álgebra lineal. Partiendo de todo esto tenemos que la Regla de Cramer dice que, en un sistema de ecuaciones lineales, el valor de cada incógnita es la relación que existe entre el determinante de la matriz de los coeficientes de las incógnitas, donde se ha sustituido la columna de la incógnita a resolver por la columna de términos independientes, entre el determinante de la matriz de los coeficientes de las incógnitas. Así si partimos del sistema:

Tendremos que las incógnitas valdrán:

Desarrollando los determinantes tendremos las operaciones a realizar para calcular la x:

y para el cálculo de la y:

Hay que señalar que si el determinante de los coeficientes de las incógnitas vale cero:

MATEMÁTICAS – Algebra 9 47

PGF03-R03

El sistema es incompatible o compatible indeterminado, y sólo será compatible determinado si este determinante es distinto de cero. Como ejemplo vamos a resolver el sistema:

Calculamos primero la x:

y ahora calculamos la y:

Con lo que tenemos la solución al sistema que, naturalmente, es:

Soluciona los siguientes sistemas aplicando la regla de kramer a.

d.

x

y

2x 3y

3

b)

1

2x 3y

1

4x 5 y

3

e)

2x

y

4y 5x y x y 2 2

1 3 x

c)

4 1

f)

3x 2 y x

2

5 y

2x 3y

5

3 x 12 y

27

MATEMÁTICAS – Algebra 9 48

PGF03-R03

UNIDAD 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Propósito Identificar y resolver de forma adecuada las diferentes propiedades aplicadas en un sistema de ecuaciones

MATEMÁTICAS – Algebra 9 49

PGF03-R03

PROBLEMAS CON ECUACIONES DE DOS INCÓGNITAS Para resolver problemas que conducen al planteamiento de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, puedes tener en cuenta las siguientes sugerencias:  Leer bien el enunciado hasta que se entienda.  Utilizar los símbolos x, y para representar las cantidades desconocidas.  Usar las expresiones algebraicas para traducir el enunciado del problema.  Construir las ecuaciones del problema.  Resolver el sistema  Una vez obtenida la solución, verificar que está de acuerdo con las condiciones dadas.

MODELACIÓN: La suma de dos números es 47 y su diferencia es 18. ¿Cuáles son los números?

MATEMÁTICAS – Algebra 9 50

PGF03-R03

1. Resuelva los siguientes problemas aplicando el método de sustitución. a. La suma de dos números es 140 y su diferencia es 28. ¿Cuáles son los números? b. La suma de las edades de dos personas es 30 años y el triple de la edad del menor es igual al doble de la edad del mayor. ¿Cuántos años tiene cada persona? c. Dos ángulos son suplementarios (la suma de sus amplitudes es 180°) y el triple de la diferencia de los dos equivale a 12 veces el ángulo menor. ¿Cuánto mide cada ángulo? d. La suma de dos números consecutivos es 3. ¿Cuáles son los números? e. El perímetro de un rectángulo es 18 y el doble de la altura excede a la base en 3. Calcula las dimensiones del rectángulo. 2. Resuelva los siguientes problemas aplicando el método de igualación o el de reducción. a. Si la suma de dos números es 25 y uno de los números es x, ¿Cómo simbolizas el otro número? 5 b. Si el doble de cierta cantidad es de x, ¿Cómo simbolizas la mitad de esta cantidad? 6 c. La suma de dos números es 140 y su diferencia es 28. ¿Cuáles son los números?

3. Solucionar los siguientes problemas aplicando el método de reducción: a. Alberto tiene 13 años más que Berta. Si el doble de la edad de Berta excede en 29 años a la edad de Alberto, halla ambas edades. b. La suma de las dos cifras de un número es 14. Al intercambiar las cifras de las decenas con el de las unidades, el número se aumenta en 18. Haya él número original. c. La suma de dos números es 21 y su diferencia es 5. ¿Cuáles son los números? 4. Solucionar los problemas del algebra de Baldor pagina 357 y 358 (por cualquier método)

MATEMÁTICAS – Algebra 9 51

PGF03-R03

SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS PROPIAS E IMPROPIAS CLASIFICACIÓN Y SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA 1 1 x ( x 3) 2 x 3 La ecuación 2 parece complicada; pero en realidad es una ecuación de primer grado con una variable, ya que se puede transformar en esta ecuación equivalente: 7x-18=0

Hemos resuelto muchas ecuaciones de este tipo y hemos visto que siempre tienen una solución. Desde el punto de vista matemático, hemos resuelto esencialmente el problema de solucionar ecuaciones de primer grado con una variable. En este apartado consideraremos el siguiente tipo de ecuaciones polinomiales, que reciben el nombre de ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas. Una ecuación cuadrática con una variable es cualquier ecuación que se pueda escribir de la forma: ax 2 bx c 0 donde x es una variable, en tanto que a, b y c son constantes. Nos referiremos a esta forma como la forma general de la ecuación cuadrática.

1. Raíz Cuadrada Un tipo más sencillo de ecuación cuadrática, por su solución, corresponde a la forma especial en que falta el término con la variable de primer grado; o sea cuando está en la 2 siguiente forma: ax c 0 El método de solución aprovecha directamente la definición de raíz cuadrada. El proceso se ilustra en el siguiente ejemplo: MODELACIÓN 1 2 Resuelve por medio de la raíz cuadrada x

8 0

SOLUCIÓN: x2 8 0

x2 x

8 8 2 2

MATEMÁTICAS – Algebra 9 52

PGF03-R03

MODELACIÓN 2 2 Resuelve por medio de la raíz cuadrada 2 x

3 0

SOLUCIÓN: 2x2 3 0

2x2

3

x2

3 2 3 2

x

6

x

2

MODELACIÓN 3 2 Resuelve por medio de la raíz cuadrada 3x

27

0

SOLUCIÓN: 3x 2 27 0

3x 2 x x

2

27 9 19

3i

2. Factorización 2 Si los coeficientes a, b y c de la ecuación cuadrática ax bx c 0 son tales que la 2 expresión ax bx c 0 puede escribirse como el producto de dos factores de primer grado con coeficientes enteros, dicha ecuación cuadrática podrá resolverse rápida y fácilmente. El método de resolución por factorización se basa en la siguiente propiedad de los números reales:

Si a y b son números reales, entonces: a b = 0 si y solo si a = 0 o b = 0 (o ambos valen cero) Esta propiedad se demuestra con facilidad: si a = 0, hemos concluido. Si a ≠ 0, multiplicamos ambos miembros de ab = 0 por 1/a, para obtener: b = 0.

MATEMÁTICAS – Algebra 9 53

PGF03-R03

MODELACIÓN 1 2 Resuelve por factorización x

2x 15 0

SOLUCIÓN: x 2 2 x 15 0

x 3 x 5

0

x 3 x

0 3

o

x 5

0

o

x

5

MODELACIÓN 2 2 Resuelve por factorización 2x

3x

SOLUCIÓN: 2 x 2 3x

2x 2

3x

0

x 2x 3

0

x

0

o

2 x-3

0

x

0

o

x

3 2

MODELACIÓN 3 2 Resuelve por factorización 2x

8x 3 0

SOLUCIÓN: El polinomio no se puede factorizar con coeficientes enteros; por tanto, debe de usarse otro método para encontrar la solución.

MATEMÁTICAS – Algebra 9 54

PGF03-R03

3. Completando el trinomio cuadrado perfecto El método de compleción del cuadrado se basa en el proceso de transformar la cuadrática 2 2 B . Donde A y B son constantes. Esta general ax bx c 0 para que quede así: x A última ecuación se puede resolver fácilmente por medio de la raíz cuadrada, como se explicó en la sección anterior. Así: x

A x

2

B

A x

B A

B

Antes de estudiar cómo se resuelve la primera parte, haremos una pausa breve para analizar 2 un problema relacionado con el nuestro: ¿Qué número se le debe de sumar a x 6 x para que el resultado sea el cuadrado de una expresión lineal? Hay una sencilla regla mecánica para encontrar tal número: se basa en los cuadrados de los siguientes binomios: x

m

2

x2

2 xm

m2

x

m

2

x2

2 xm

m2

En ambos casos, observemos que, en el miembro derecho, el tercer término es el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, que aparece en el segundo término. Esta observación nos lleva directamente a la regla: 2 Para completar el cuadrado de una expresión cuadrática de la forma x

b Se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, o sea: 2

2

bx

b2 o sea 4

MODELACIÓN 1 2 Completa el cuadrado de x

6x

b SOLUCIÓN: Sumamos el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, usamos la forma 2 6 2

2

36 4

9

2 , por lo que obtenemos: x

6x

9

x

3

2

2

MATEMÁTICAS – Algebra 9 55

PGF03-R03

MODELACIÓN 2 2 Completa el cuadrado de x

3x 2

2

3 9 3 9 x 2 3x x 4 2 SOLUCIÓN: Sumamos 2 ; o sea 4 , así: La resolución de ecuaciones cuadráticas por el método de compleción del cuadrado se ilustra mejor con ejemplos

MODELACIÓN 3 2 Resuelve x 6x 2 0 por el método de compleción del cuadrado SOLUCIÓN: x 2 6x 2 0 Sumamos 2 a ambos miembros de la ecuación para eliminar -2 del miembro izquierdo. x 2 6x 2 Para completar el cuadrado del miembro izquierdo, sumamos el cuadrado del coeficiente de x, en ambos miembros de la ecuación. x 2 6 x 9 9 2 Factorizamos el miembro izquierdo.

x

3

2

11

x 3 x

Resolvemos por medio de la raíz cuadrada.

11 3

11

MODELACIÓN 4 2 Resuelve 2 x 4 x 3 0 por el método de compleción del cuadrado SOLUCIÓN: 2x 2 4x 3 0 Observa que el coeficiente de x2 no es 1. En tal caso, dividimos todos los términos entre el coeficiente principal y proseguimos como en el ejemplo anterior. 3 x 2 2x 0 2 3 x 2 2x 2

MATEMÁTICAS – Algebra 9 56

PGF03-R03

x2

3 1 2 5 2 5 2

2x 1 x 1

2

x 1

5 2

x 1

10 2 10

x 1 2

x

2

4. Fórmula cuadrática Para obtener la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado, tomamos la ecuación 2 general ax bx c 0 y resolvemos para x, en función de los coeficientes a, b y c, por el método de compleción del cuadrado; de esta manera obtenemos una fórmula que podremos memorizar y utilizar siempre que se conozca el valor de a, b y c. Para empezar haremos igual a 1 el coeficiente principal. Para ello, multiplicamos por 1/a ambos miembros de la ecuación. Queda así: x2

b a

c a

0

Sumamos –c/a a ambos miembros de la ecuación para suprimir c/a del miembro izquierdo. x2

b a

c a

Ahora completamos el cuadro del miembro izquierdo; para ello, sumamos a cada miembro del cuadrado de la mitad del coeficiente de x; x2

b a

b2 4a 2

b2 4a 2

c a

Luego factorizamos el miembro izquierdo de la ecuación y la resolvemos por medio de la raíz cuadrada.

MATEMÁTICAS – Algebra 9 57

PGF03-R03

2

b 2a

x x

b2

4ac 4a 2 b2

b 2a x x

4ac 4a 2

b 2a b 2a

b2 b2

4ac 4a 2 4ac

4a 2

Obtenemos esto:

x

b

b2 2a

4ac

Está última ecuación se llama fórmula cuadrática. Es necesario memorizarla y emplearla para resolver ecuaciones cuadráticas, cuando no dan resultado métodos más sencillos. Observa que b2-4ac recibe el nombre de discriminante y nos proporciona la siguiente información útil respecto de las raíces: b2 - 4ac ax2 + bx + c = 0 Positivo Dos soluciones reales Cero Una solución real Negativo Dos soluciones complejas

MATEMÁTICAS – Algebra 9 58

PGF03-R03

MODELACIÓN 1 2 Resuelve 2 x

4 x 3 0 por la fórmula cuadrática

SOLUCIÓN: anotamos la fórmula cuadrática e identificamos a=2, b=-4 y c=-3.

4

x x x

x x

b2 2a

b

x

4

4ac Sustituimos la fórmula y simplificamos.

4 22

2

42

3

16 24 4 40

4 4

4 2 10 4 2 10 2

MODELACIÓN 2 2 Resuelve x 11 6 x por la fórmula cuadrática

2 SOLUCIÓN: x 6 x 11 0 a = 1, b = -6 y c = 11

x

b

b2 2a

escribimos

en

la

forma

general

e

identificamos

4ac Sustituimos la fórmula y simplificamos.

MATEMÁTICAS – Algebra 9 59

PGF03-R03

6

x x x x x

6

6 21

2

4 1 11

36 44 2 8

6

2 6 2i 2 2 3 i 2

1. Realice un cuadro comparativo, entre la aplicación de factorización y formula general para funciones cuadráticas. 2. Resuelve por medio de la raíz cuadrada a. b. c.

d.

MATEMÁTICAS – Algebra 9 60

PGF03-R03

3. Resuelve por el método de factorización y grafique las siguientes ecuaciones

4. Resuelve las siguientes funciones cuadráticas aplicando la formula general:

5. Resuelve por factorización, si es posible a. b. c.

Soluciona las siguientes ecuaciones aplicando el método que más convenga: a.

e.

b.

f.

c.

g. x 2 + (7 − x) 2 = 2 5

d.

h. 7 x 2 + 2 1 x − 2 8 = 0

MATEMÁTICAS – Algebra 9 61

PGF03-R03

FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Ecuación exponencial Un a e cu a ción e xp o ne n cia l e s a que lla e cua ció n en la qu e la in có gn it a a p a re ce en e l e xp o n en t e . P a ra re so lve r u na e cu a ción e xp o ne ncia l va m o s a t e ne r e n cu e nt a : 1. 2. 3 . L a s p rop ie da d e s de la s po t en cia s . a0 = 1 · a1 = a

am · a

n

= am+n

am : a

n

= am

(a m ) n = a m an · b an

b

n

- n

· n

= (a · b) n

= (a

n

b)

n

P a ra so lu cio na r u n a e cu a ció n e xp on e n cia l va m o s a te n e r e n cu en t a los t re s p un t o s a n te riore s y la s p ro p ie dad e s.

MATEMÁTICAS – Algebra 9 62

PGF03-R03

MODELACIÓN Solucionar las siguientes ecuaciones exponenciales

a. b. c. S ol uc i ón a. 22x – 1 = 22 2x – 1 =2 2x = 2 + 1 2x = 3 x= b.

Aplicando (2) tenemos que Despejando x tenemos

Aplicando la propiedad

=

tenemos

aplicando (2) tenemos Eliminando denominadores tenemos

2 (x - 3) = 3 (2x - 1) realizando el producto indicado 2x – 6 = 6x – 3 agrupando términos semejantes 2x – 6x = -3 + 6 reduciendo términos -4x = 3 despejando x x= c. Factorizando tenemos

Despejando 2x tenemos 2x = 28. 2x = 8 2x = 23 x=3

8 = 23 reemplazamos aplicando (2)

MATEMÁTICAS – Algebra 9 63

PGF03-R03

1. Solucionar las siguientes ecuaciones exponenciales

a. b.

c. d. e. f.

FUNCIÓN EXPONENCIAL En términos generales, una función es exponencial si se expresa de la forma

f ( x)

a x Siendo a y x reales.

La expresión función exponencial se reserva para la inversa de la función logaritmo natural o, dicho en otros términos, para el caso en que a = e. Con esa definición, su dominio es R, pero se puede ampliar al cuerpo de los complejos. Esta función se nota exp: R → R+* Donde e es la base de los logaritmos naturales. y = exp x x = ln y (con y >0)

MATEMÁTICAS – Algebra 9 64

PGF03-R03

La importancia de las funciones exponenciales en matemática y ciencias radica principalmente de las propiedades de su derivada. Es decir, ex es su propia derivada. Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior:

La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto. La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x. La función es solución de la ecuación diferencial y' = y. Definición formal La función exponencial ex puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre Sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una serie de potencias FUNCIÓN EXPONENCIAL Sea a R, a >0, a 1 Función exponencial de base “a”, a 1, es la aplicación de R en los reales estrictamente positivos que hace corresponder a cada “x” real una imagen ax real positiva.

f :R x

R y

{0} ax

Para cualquier “a” se cumple que f(0) = a0 =1 y f(1) = a1 = a Estudiamos la gráfica cuando a>1 y cuando 01

a 1

-3

-2

-1

Gráfica de y = e

0

1

2

3

x

MODELACIÓN: Tabular y graficar las siguiente función a. F(x) = 2x Veamos la gráfica de y = 2 x

x y

-3 -2 -1 1/8 1/4 1/2

0 1

1 2

2 4

3 8

y=2x 4 3 2 1

-3

-2

-1

0

1

2

3

MATEMÁTICAS – Algebra 9 66

PGF03-R03

FUNCIÓN LOGARÍTMICA Se llama función logarítmica a la función real de variable real; La función logarítmica es una aplicación biyectiva definida de R*+ en R : La función logarítmica solo está definida sobre los números positivos. Los números negativos y el cero no tienen logaritmo, la función logarítmica de base a es la recíproca de la función exponencial de base a. Las funciones logarítmicas más usuales son la de base 10 y la de base e = 2’718281... Se hallan por medio de la fórmula: a x

ay

x

y

La func i ón l oga rí tmi c a en base a es la func i ón i nve rs a de l a ex pone nc ia l en base a.

Propiedades de las funciones logarítmicas

MATEMÁTICAS – Algebra 9 67

PGF03-R03

Do m in io : Re co rrid o : E s co n t in u a . L o s pu n to s (1 , 0 ) y (a , 1 ) pe rt e ne cen a la gráf ica . E s in ye ct iva (ninguna imagen tiene más de un original). Cre cie n t e si a >1 . De cre cie n t e si a an 2 , 5 , 8 , 1 1 , 1 4, 17 ,. . . 5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ... Sucesiones crecientes S e d ice qu e u na su ce sió n e s cre cie nt e s i ca d a t é rm in o e s ma yo r o igu a l qu e e l a n te rio r . an+1 ≥ an 2, 2 , 4, 4, 8, 8,... 2 ≥ 2 ; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4 ; ... Sucesiones estrictamente decrecientes S e d i ce qu e un a su ce sió n e s e st rict am e nt e de cre cie nt e si ca d a t é rm in o de la su ce sió n e s m en o r qu e e l an t e rio r. an+1 < an

MATEMÁTICAS – Algebra 9 75

PGF03-R03

1 , 1 /2 , 1 / 3 , 1 /4 , 1/5 , 1 /6 , . .. 1 / 2 < 1; 1 /3 < 1 /2 ; 1 / 4 < 1 / 3 ; . . .

Sucesiones decrecientes S e d ice qu e u na su ce sió n e s e st ricta m en t e d e cre cien te s i ca da t é rm in o d e la su ce sión e s men o r o igu a l qu e e l a n t e rio r. an+1 ≤ an Sucesiones constantes S e d ice qu e u na su ce sió n es co n sta n t e si t o do s su té rm in o s son igu a le s , an= k. 5 , 5 , 5 , 5 , . ..

TÉRMINO GENERAL O TERMINO N-ÉSIMO En las sucesiones estudiadas antes, los términos

1 n representan de forma simbólica , n, n n 1

a la ley de formación de cada sucesión, se representan por a n y se llaman término general de la sucesión. A partir del término general puede calcularse cualquier término dando valores a n. El valor de n corresponde con el lugar que ocupa el término en la sucesión. Por ejemplo: Determinar los tres primeros términos y el que ocupa el lugar 10, en una n2 sucesión cuyo término general es: an = n 1 2 1 1 Para n = 1, a 1 1 1 2 22 4 Para n = 2, a 2 2 1 3 32 9 Para n = 3 a 3 3 1 4 10 2 100 Para n = 10 a 10 10 1 11

MATEMÁTICAS – Algebra 9 76

PGF03-R03

1. Calcule él término indicado en cada una de las siguientes sucesiones: a. an

n2

n 3 calcula a8

c. an

n 1

e. an

1n

g. an

1

n

n calcula a5 2n

calcula a15

n 1 calcula a13 n 2

b. an

2n 1 calcula a3 n

d. an

2n

f. an

n calcula a21 2n 1

h. an

1

calcula a12

1 n

2

1

calcula a19

MATEMÁTICAS – Algebra 9 77

PGF03-R03

3. Halla los 4 primeros términos de cada sucesión: a. a n

n2 n 1

c. a n

n3

e. an

3n

n

b. a n

2n 1 2n 2

d. an

n2 3n 1

f. an

n 4n 2

4. Establece cuales de las siguientes sucesiones son finitas: a. an

1 ( 1)n; n

b. an

3

c. an d. an e. an

2

n; 3 n

4

n

5

3n; n

1

5 ; 3 n 12 n 5n 2 ; 1 n 2

MATEMÁTICAS – Algebra 9 78

PGF03-R03

5. Encuentra él termino general para cada una de las siguientes sucesiones:

a. 1, 3, 5, 7, 9,....

c. 1, 8, 27, 64, 125,...

b. 2, 4, 6, 8, 10,...

d. 2,

3 4 5 6 , , , ,... 2 3 4 5

e.

1 2 3 4 , , , ,... 2 3 4 5

4 5 7 8 f. 1, , , 2, , , 3,... 3 3 3 3

g.

1 3 5 ,1, ,2, 2 2 2

h. 2,3,4,5,6,…

MATEMÁTICAS – Algebra 9 79

PGF03-R03

PROGRESIONES Un a p ro gre sió n a rit m é t ica e s u n a suce sió n de nú me ros t a le s qu e ca d a u n o d e e llo s (sa lvo e l p rim e ro ) e s igu a l a l a n t e rio r m á s un n ú me ro f ijo lla mad o d if e re n cia qu e se re p re sen t a p o r d. 8, 3, -2, -7, -12, ... 3 - 8 = -5 -2 - 3 = -5 -7 - (-2) = -5 -12 - (-7) = -5 d= -5. Término general de una progresión aritmética

1.

S i co n o ce mo s e l 1 e r t é rm in o. a n = a 1 + (n - 1 ) · d

MODELACIÓN 8, 3, -2, -7, -12, … an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5 n + 1 3 2.

Si conocemos el valor que ocupa cualquier ot ro t é rm in o de la progresión. a n = a k + (n - k) · d

MODELACIÓN a4= -7 y d= -5 an = -7+ (n - 4) · (-5)= -7 -5n +20 = -5 n + 1 3

MATEMÁTICAS – Algebra 9 80

PGF03-R03

Interpolación de términos en una progresión aritmética

I n t e rpo la r m ed io s d if e re n cia le s o a rit m é t ico s e n t re d o s nú me ro s, e s co n st ru ir un a p rogre sió n a rit m ét ica qu e t en ga po r ext re m o s lo s n úm ero s d a do s. Sean los e xt re mo s a y b , y el número de m e d io s a interpolar m .

MODELACIÓN Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.

8,

3 , -2, -7 ,

-12.

Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética

a1 = Primer termino an= ultimo termino n = cantidad de términos a sumar

MODELACIÓN Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 8, 3, -2, -7, -12,

1. Realizar el mentefacto para progresiones.

MATEMÁTICAS – Algebra 9 81

PGF03-R03

1. Establece cuales de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas: a. 1, 2, 3, 4,5,… b. 0.5, 0.0005, 0.005, 5… c. 1,4/2, 5/6, 2, 7/3,… d. 1, 5, 9, 13, 17,… e. –4, 0, 4, 8, 12,… 2. Hallar el valor d para cada una de las siguientes progresiones aritméticas: a. 11,20,29,38,47

b. 8,5,2,-1,-4

c. –5,8,21,34

d. –9,-15,-21,-27,-33

e. 25,16,7,-2

f. 3,

22 29 36 43 , , , 5 5 5 5

MATEMÁTICAS – Algebra 9 82

PGF03-R03

3. Encuentre la suma indicada de cada progresión aritmética. a. 2n 1 ; hallar la suma de los 8 primeros términos.

b. 3,2,1,0,-1,-2,-3,…, S13

c. Hallar la suma de los primeros 50 números naturales pares.

d. 5,7,9,11,…, S12

e. –8,-1,6,13,…, S10

MATEMÁTICAS – Algebra 9 83

PGF03-R03

4. Solucionar las siguientes situaciones a . E l cu a rto té rm in o d e u n a p ro gre sió n a rit m é t ica e s 1 0 , y e l se xt o e s 1 6 . E scrib ir la p ro gre sió n . b . E scrib ir t re s m ed ios a rit m ét ico s en t re 3 y 2 3 . c . I n t e rpo la r t re s m ed io s a ritm é t ico s en t re 8 y -1 2 . d . E l p rim e r té rm ino d e un a p ro gre sió n a rit m é t ica e s -1, y e l De cim o qu in to e s 27 . e . L a sum a d e lo s qu in ce p rim e ro s té rm in o s. f . Ha lla r la su ma de lo s qu in ce p rim e ros m ú lt ip lo s de 5 . g. Ha lla r la su ma de lo s qu in ce p rim e ros n úm e ro s a ca ba do s e n 5 . h . Ha lla r la su ma de lo s qu in ce p rim e ros n úm e ro s p a re s m a yo re s qu e 5. 5. Escribe en tu cuaderno el término que ocupa el lugar 50 en las siguientes sucesiones: a. 20, 17, 14, 11, 8, b. -9, -2, 5, 12, 19,.... c. -11, -22, -33, -44,.... 6. Si a1 = 0 y

d = 3 en una progresión aritmética, ¿cuánto vale a18?

7. Si a10 = 14 y d = -2, calcular a1.

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Un a p ro gre sió n ge o mé t rica e s un a su ce sión en la qu e ca da té rm in o se o b t ien e m u lt ip licand o a l a n te rio r u na ca n t ida d f ija r, llam a da ra zó n .

MATEMÁTICAS – Algebra 9 84

PGF03-R03

MO DE L ACI Ó N:

S i t e n em o s la su ce sió n : 3, 6 , 1 2, 24 , 48 , . . .

6 / 3 = 2 12 / 6 = 2 24 / 12 = 2 48 / 24 = 2 r= 2 . Término general de una progresión geométrica 1 . S i co n o ce mo s e l 1 e r t é rm in o.

an = a1 · rn-1

MODELACIÓN 3 , 6 , 1 2, 24 , 48 , . . a n = 3 · 2 n - 1 = 3 · 2 n · 2 - 1 = (3 /2 )· 2 n 2 . S i co n o ce mo s e l va lo r qu e o cu p a cu a lqu ie r o t ro t é rm in o d e la p ro gre sió n .

an = ak · rn-k

MATEMÁTICAS – Algebra 9 85

PGF03-R03

MO DE L ACI Ó N a 4 = 2 4 , k=4 y r=2 . an = a4 · rn-4 a n = 2 4 · 2 n - 4 = (2 4 /1 6 )· 2 n = (3 / 2 ) · 2 n

Interpolación de términos en una progresión geométrica I n t e rpo la r m ed io s ge o m é t rico s o p ro p o rcio na le s e nt re d o s n úm e ro s, e s co n st ru ir u na p rogre sió n ge o m ét rica qu e t en ga p o r e xt re m o s lo s n úme ro s d a do s. S e a n lo s ex tre mos a y b , y e l n ú mero d e me di os a in te rp o la r m .

MO DE L ACI Ó N I n t e rpo la r t re s m ed io s ge om é t rico s en t re 3 y 4 8.

3,

6 , 1 2, 24 ,

4 8.

Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica

MATEMÁTICAS – Algebra 9 86

PGF03-R03

MO DE L ACI Ó N Ca lcu la r la sum a d e lo s p rim e ro s 5 t é rm ino s de la p rogre sió n : 3 , 6 , 1 2, 24, 48, ...

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

MODELACIÓN Ca lcu la r la su ma d e lo s t é rm in o s de la p ro gre sió n ge o mé t rica de cre cie n te ilim it a d a :

MODELACIÓN Encontrar el séptimo término de la progresión geométrica –4,-2,-1,… Solución: como Luego, a1

r

an an 1 4; r

, se tiene: r 1 ; n 2

a3 a2

1 2

1 2

7

MATEMÁTICAS – Algebra 9 87

PGF03-R03

Reemplazando en an

a1 * r

n 1

, se tiene: a7

1 ( 4) 2

7 1

1 ( 4) 2

6

1 16

MATEMÁTICAS – Algebra 9 88

PGF03-R03

1. Determinar la diferencia o razón de las siguientes progresiones aritméticas. a. 1, 3, 5, 7...

c.

3 11 8 , , ,... 5 10 5

b. –6,

11 , 5, 2

9 .. 2

d. – 6 , – 4, – 2, ...

2. En las progresiones, determinar el término general, si se puede. a. –3,-6,-12,-24

c. 3,-3,3,-3

b. 2,4,8,16

d.

1 1 1 ,4, ,2,11,2, 4 2 2

MATEMÁTICAS – Algebra 9 89

PGF03-R03

3. Calcula el termino indicado en cada una de las siguientes progresiones geométricas:

b. a19 con a2

3, r

9 2

4. Encuentra los tres primeros términos de las siguientes progresiones geométricas si se sabe que: a. a13 en: -2,-1,

1 2

b. a10 en: 20,30,45

c. a2

10 , r

3

MATEMÁTICAS – Algebra 9 90

PGF03-R03

d. a3

2 , r 5

5

5. Copia en tu cuaderno las siguientes progresiones aritméticas y calcula su término general: Términos a1 d 3, 7, 11, 15, ... -12, -9, -6, -3, ... 12, 9, 6, 3, ... 6, 6, 6, 6, ... 10, 3, -4, -11, ... 120, 152, 184, ...

an

6. Calcula los términos generales de cada una de las siguientes sucesiones :

a) 1, -1, -3, -5, -7,... b) 2, 5, 8, 11, 14,... c) -7, -5, -3, -1, 1,.. 7. Interpolar cinco medios aritméticos entre los números 20 y 44.

MATEMÁTICAS – Algebra 9 91

PGF03-R03

Elabora un texto explicativo sobre el anterior mentefacto.

MATEMÁTICAS – Algebra 9 92

PGF03-R03

BIBLIOGRAFIA

 Matemática con Tecnología Aplicada 9. Ed. Prentice Hall  Serie Matemática Moderna Segundo Curso. Ed. Norma  www.wikipedia.com  www.postnuclear.net

MATEMÁTICAS – Algebra 9 93