Escuela Normal Superior N° 11

MATEMÁTICA

PRESENTACION DEL MATERIAL ESTIMADO ALUMNO El material que encontraras a continuación contiene dos bloques temáticos, el primero

presenta una selección de contenidos de Sistemas Numéricos y el

segundo una selección de contenidos de Geometría (nociones del plano). Esta selección procura fomentar la actividad de lectura comprensiva, que conlleva al alumno a trabajar en Matemática con el razonamiento, las distintas formas de comunicación y los problemas, la Matemática es mucho mas saber hacer que meramente saber. Cada bloque comienza con una serie de actividades que puedes emprender con los instrumentos que ya dominas, hay ejemplos en el marco teórico que te ayudaran a internalizar los diferentes conceptos y a continuación encontraras numerosos problemas con complejidad creciente. Te pedimos que leas comprensivamente los textos presentados y que resuelvas los problemas de cada bloque.

La excelencia te convierte en una persona de éxito, determinada, que sabe todo lo que hace y todo lo que quiere, porque el lugar donde hoy estás no es tu llegada sino tu lugar de partida hacia el cumplimiento de tu sueño. BERNARDO STAMATEAS

MARCO TEÓRICO

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

SISTEMA DE NUMERACIÓN Es un conjunto de símbolos y reglas que se usan para representar los números. Los sistemas de numeración pueden clasificarse en dos grandes grupos:  Posicionales  No posicionales Sistemas de numeración no posicionales Los sistemas aditivos son aquellos que acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas… como sean necesarios hasta completar el número. Como las numeraciones egipcias, sumeria (de base 60), hitita, cretense, azteca (de base 20), las alfabéticas de los griegos, armenios, judíos y árabes. El sistema de los números romanos no es estrictamente posicional. Por esto, es muy complejo diseñar algoritmos de uso general (por ej. Para sumar, restar, multiplicar, dividir) Signos

Letras mayúsculas: I

V

X

L

C

D

M

Valores:

5

10

50

100

500

1000

1

Convenciones para la escritura, recuerda estas: 1. Toda letra colocada a la derecha de otra de igual o mayor valor, le suma a su valor: siendo X= 10, es XX= 20; XI= 11, etc. 2. Toda letra colocada a la izquierda de otra de mayor valor, le resta su valor: siendo X=10, es IX= 9, etc. 3. No pueden repetirse más de tres veces consecutivas: I; X; C; M. Ej. III=3, XXX=30, CCC=300, MMM=3000. V, L, D no pueden repetirse. 4. Una rayita superpuesta aumenta mil veces su valor, dos rayitas un millón de veces: = 5000 =10.000 = 200.000.000; etc. 5. Los números se escriben por descomposición. Ej. 499 (=400+90+9) se escribe CDXCIX (CD= 400; XC= 90; IX=9). Luego, es incorrecto escribirlo así: ID (500-1=499)

Sistemas de numeración posicionales: Mucho más efectivos que los sistemas anteriores son los posicionales. En ellos, la posición de una cifra nos dice si son decenas, centenas… o en general la potencia de la base correspondiente. Es decir, que el número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como base del sistema de numeración.

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL O EN BASE DIEZ Es oriundo de la India, fue divulgado en Europa por los árabes. De ahí que sus símbolos se conozcan con el nombre de cifras indo-árabe. Está compuesto por los símbolos denominados dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Nuestro Sistema de Numeración se llama DECIMAL, porque su base es 10, es decir, utilizamos 10 símbolos para representar todas las cantidades y es POSICIONAL, es decir que diez unidades forman una unidad del orden inmediato superior.

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO EN CUALUIER BASE Descomponer polinómicamente un número consiste en expresarlo como la suma de los valores posicionales de sus cifras (utilizando las potencias sucesivas de la base). Por ej. 1269 = 1 x 1000 + 2 x 100 + 6 x 10 + 9 = 1 x 103 + 2 x 102 + 6 x 101 + 9 x 100 Cabe señalar que la base de las potencias es la base del sistema y el exponente que le corresponde a cada cifra es el número anterior a su valor de orden.

DIVISOR COMUN MAYOR Y MULTIPLO COMUN MINIMO DCM El DCM de varios números es el mayor número que los divide a todos exactamente. Para hallar el DCM de varios números se descomponen éstos en sus factores primos y se determina el producto de los factores comunes con su menor exponente. Hallar el DCM de 20, 30 y 50. 20 2

30 2

50 2

20 = 22 x 5

10 2

15 3

25 5

30 = 2 x 3 x 5

5 5

5 5

50 = 2 x 52

1

1

DCM = 2 x 5 = 10

5 1

5

Los números 20, 30 y 50 por ej. tienen varios divisores comunes: 1, 2, 5 y 10; el mayor es 10; lueg o 10 es el DCM de 20, 30 50. MCM El MCM de varios números es el menor número que los contiene a todos exactamente. Para hallar el MCM de varios números se descomponen éstos es sus factores primos y se determina el producto de sus factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

DIVISIBILIDAD Un número es divisible por otro cuando lo contiene un número exacto de veces: 15 es divisible por 5 pus lo contiene exactamente 3 veces; y 15 es divisible por 3 pues lo contiene exactamente 5 veces. Un número divisible llámese múltiplo del divisor, y éste submúltiplo de aquél; 15 es múltiplo de 5 y de 3, en tanto que éstos son submúltiplos de 15.

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS Números primos son los que únicamente son divisibles por sí mismos y por la unidad: 1, 2, 3, 5, etc. Los números compuestos son divisibles además, por otros números: 4, 6, 8, etc. Se pueden descomponer en un producto de factores primos; ej: 10 = 2 x 5

DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES PRIMOS Se divide el número por su menor divisor primo: el cociente obtenido se divide también por su menor divisor primo, y así se continúa hasta que el cociente sea 1. Ej: Sea descomponer 480 en sus factores primos: 480 240 120 60 30 15 5 1

2 2 2 2 2 3 5

480 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 480 = 25 x 3 x 5

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Los criterios de divisibilidad son reglas que sirven para saber si un número es divisible por otro sin necesidad de realizar la división. Aunque pueden buscarse criterios para todos los números, sólo expondremos los más comunes:  Criterio de divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2 si acaba en 0 o cifra par. Ejemplos: 36, 94, 521342, 40…  Criterio de divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Ejemplos: 36, 2142, 42…  Criterio de divisibilidad por 4: Cuando sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 4. Ejemplos: 300, 508, 12018…  Criterio de divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 si la última de sus cifras es 5 o es 0. Ejemplos: 35, 2145, 40...  Criterio de divisibilidad por 6: Cuando es divisible por dos y tres. Ejemplos: 12, 34002…  Criterio de divisibilidad por 8: Cuando sus tres últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 8. Ejemplos: 15000, 15408…  Criterio de divisibilidad por 9: Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Ejemplos: 495, 945, 53640...

 Criterio de divisibilidad por 11 : Debemos hacer lo siguiente: Sumamos las cifras que ocupan lugares pares, sumamos las cifras que ocupan lugares impares. A la suma mayor le restamos la suma menor, si la diferencia es 0 o múltiplo de 11, entonces el número es múltiplo de 11. Ejemplos: 2343649, 9889, 18161902...  Criterio de divisibilidad por 25: Cuando termina en 00, 25, 50 o 75. Ejemplos: 700, 625…  Criterio de divisibilidad por 125: Cuando termina en 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750 u 875. Ejemplos: 10000, 47875…

EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES Para designar al conjunto de los números naturales utilizamos el símbolo lN. Si definimos a este conjunto por extensión, será: lN = { 0, 1, 2, 3, 4, ...} Habrás notado que algunos autores excluyen el cero del conjunto de los naturales. Debes entender que se trata de una convención. En nuestro caso adoptamos la otra, justificada por el hecho de que al considerar el cero como número natural, (0ϵ IN), la relación “menor o igual que” (≤) definida en el conjunto IN, resulta ser una relación de orden. Cuando hablamos de los números naturales es conveniente observar que se trata de un conjunto, y se presentan ordenados en una sucesión. Algunas características de los naturales son:  Se parte de un elemento especial: el cero.  Tampoco se cierra sobre sí mismo como ocurre con los números del reloj, que después del 12 sigue el numero 1, de partida.  Es un conjunto infinito, no tiene último elemento.  No existen números naturales intercalados entre los de la sucesión, es discreto. En otras palabras entre dos números naturales existe un número finito de números naturales. Para los niños, estas características pueden partir, hasta quinto año, de la observación guiada e informal y en ejercicios que las evidencien, y darse en forma explícita en sexto de la siguiente manera:  Tiene primer elemento: el cero.  Es un conjunto infinito, no tiene último elemento.  Todo numero tiene antecesor y sucesor, menos el cero que solo tiene sucesor Los números naturales se representan en una recta, a la que llamamos “recta numérica”. Resulta muy útil tener una imagen geométrica para IN, esto es, asociar a cada número natural un punto de una recta en la cual previamente se fijo una escala. Entre dos puntos naturales existen infinitos puntos de la recta a los cuales no les corresponde ningún número natural. La recta numérica se irá completando con números de otra naturaleza.

OPERACIONES DEFINIDAS EN lN Adición Es una operación definida en lN y es: a + b = c donde a, b y c son números naturales. Los números que intervienen reciben los siguientes nombres: 372 + 421 = 793

SUMANDOS

SUMA

Propiedades fundamentales:

 Ley de composición interna: La suma de dos números naturales es otro número natural  

 

a + b Conmutativa: La suma no se altera si se cambia el orden de los sumandos a + b = b + a Asociativa: Dados 3 o más sumandos existen distintos caminos para encontrar la suma. Es decir que la suma no cambia si se asocian los sumandos de diferentes maneras. (a + b) + c = a + (b + c) Elemento neutro: El cero es el operador neutro de la suma. Si a un número se le suma cero se obtiene el mismo número. a + 0 = a Iteración: El operador +1 (agregación de la unidad) permite obtener “el siguiente de”.

Todas las propiedades que se mencionaron son demostrables, sin embargo a lo largo de la escuela primaria y la secundaria inclusive, las aceptaremos simplemente como validas y las verificaremos con ejemplos numéricos. Atención!!: Demostrar y verificar son cosas totalmente diferentes.

Sustracción Dados dos números naturales a y b, llamados minuendo y sustraendo, se llama diferencia b a un número natural c, si existe, tal que sumándole el sustraendo da el minuendo.

a

Es evidente que hay una restricción porque en la definición se habla de numero natural c, si existe, que puede o no existir. Es necesario que el minuendo no sea menor que el sustraendo. Ahora si es a≥b entonces: abc cba

Recordemos los nombres de los números que intervienen en la sustracción: 372 -152 220

Minuendo Sustraendo Resta o diferencia

La sustracción:    

No es asociativa No es conmutativa 5 − 2 ≠ 2 − 5 Elemento neutro es el 0 El operador -1 permite obtener “el inmediato anterior de”

Multiplicación Es la operación definida de lN en lN, llamada producto entre a y b, donde a y b son números naturales y b ≠ 0 no es otra cosa que la suma reiterada de a, b veces. Esto es: a x b = a + a + a +........

b veces el sumando a La definición de producto queda completa estableciendo que a x 0 = 0 x a = 0. Los números que intervienen en la multiplicación se llaman: 372 x 2 = 744

FACTORES PRODUCTO

Propiedades fundamentales:

 Ley de composición interna: La multiplicación de dos números naturales es otro número     

natural. a · b Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto. a · b = b · a Asociativa: Dados 3 o más factores existen distintos caminos para encontrar el producto. (a · b) · c = a · (b · c) Distributiva respecto de la adición y sustracción: Se transforma en una adición de productos parciales. a · (b + c) = a · b + a · c Elemento neutro: El uno es el operador neutro del producto. Si a un número se lo multiplica por uno se obtiene el mimo número. a · 1 = a Elemento absorbente: El cero es el operador absorbente de la multiplicación.

División Dados dos números naturales a y b , con b ≠ 0, llamados dividendo y divisor respectivamente, se llama cociente a/b a un numero natural c, si existe, tal que dé el dividendo cuando se lo multiplica por el divisor. Esto es: a/b c significa que a c b Recordemos: Dividendo

3251

8

051

406

3

Divisor Cociente Resto

El cociente a/b también es posible expresarlo a: b o Lo mismo que en la sustracción, la división no es operación dentro de los naturales. La división:       

No es asociativa. No es conmutativa. 6 : 2 ≠ 2 : 6 Es distributiva respecto a la adición y la sustracción. El uno es el operador neutro. El cero, dividido por cualquier número, es cero. 0 : 5 = 0 El cero como divisor carece de sentido. No se puede dividir por cero. No siempre la división es exacta, es posible la existencia de un resto.

División entera – división exacta División exacta: es aquella donde el cociente es un número entero y el resto es igual a cero. Ejemplo: 12:4 =3 División entera: es aquella donde el cociente es entero y el resto es igual o mayor que cero y menor que el divisor.

Prioridades en las operaciones 1. 2. 3. 4.

Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves. Calcular las potencias y raíces. Efectuar los productos y cocientes. Realizar las sumas y restas.

EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS Para designar al conjunto de los números enteros utilizamos la letra ℤ. El mismo está formado por los enteros positivos (ℤ ), el cero y los enteros negativos (ℤ -). +

Por extensión, este conjunto será:

ℤ= ℤ + U {0} U ℤ -

ℤ= {…;-3;-2;-1;0; 1;2; 3; 4; …}

Los números enteros tienen un distintivo: el signo. Para expresar un número negativo utilizamos el signo “–“ que tiene un significado diferente al signo negativo que expresa una sustracción. Lo mismo ocurre con el signo “+”, aunque, por convención, cuando un numero es positivo el signo no se coloca. Los números enteros resuelven el problema de la sustracción y de las ecuaciones del tipo: a x b con a b . Ejemplo: 6 x 4; dentro de los naturales 4 6 no tiene solución, sin embargo en el conjunto de los enteros es 4 6 2

Además este nuevo conjunto numérico permite interpretar diversas situaciones: fechas anteriores al nacimiento de Cristo; distancias bajo el nivel del mar; saldo deudor; las pérdidas de una empresa; temperaturas bajo cero etc. Por ser una ampliación de los naturales, en este nuevo conjunto siguen vigentes las operaciones validas en el conjunto de los naturales, lo mismo que sus propiedades características. A las propiedades conocidas, se le agregan: Número opuesto: todo número entero tiene un opuesto, tal que la suma del numero y su opuesto es cero. Por ejemplo: el opuesto de 3 es –3 entonces 3 + (-3) =0. De la misma forma el opuesto de –4 es 4, entonces (-4) + 4 = 0 Características:     

No hay ni primer ni último elemento. Es un conjunto infinito. No existen números enteros intercalados entre los de la sucesión: es no denso o discreto. Todo número tiene antecesor y sucesor. Todo número tiene su opuesto. El cero es negativo y positivo a la vez.

Recta numérica. En la recta numérica se representan el cero, los números enteros negativos (a la izquierda) y los números enteros positivos (a la derecha). Recuerda que la recta esta graduada. Los números opuestos se encuentran a la misma distancia del cero. La distancia que existe entre un numero y el cero se llama modulo o valor absoluto. Por lo tanto los números opuestos tienen el mismo modulo. Para expresar el modulo de un numero se utilizan las barras de valor absoluto. Ej: l 3 l = 3 y l –3 l = 3 El 3 y el –3 están a una distancia de tres unidades del cero.

Lectura y escritura de números enteros: Lectura: Sea leer el número 54003005742834 Se separan períodos de 3 cifras de derecha a izquierda (por medio de puntos) y luego, también de derecha a izquierda, a cada período de 6 cifras se coloca un numérico de orden según la serie natural: 1, 2, 3…., etc.; los que indicarán respectivamente millones, billones, trillones, etc. 54.003.005.742.834 Lectura: Se lee el 1er período de la izquierda (que puede tener menos de 6 cifras, como en este caso), agregando al final la palabra billones, que es la que indica el número 2; se lee luego el 2° periodo, millones; y luego el último, unidades. A cada punto o espacio situado en el medio de cada período de 6 cifras se leerá la palabra mil. El número se lee así: Billones 54. 2

Mil Millones Mil 003.

005. 1

742.

Unidades 034

Escritura: Sea escribir: catorce trillones setenta y tres millones veinte metros. Se escribe el primer período (14 trillones), seguido de un punto, y se trazan luego arcos para cada período de 6 cifras hasta llegar a las unidades, dando así a 14 el valor de trillones; en cada arco s e colocan los puntos para los períodos de 3 cifras. Luego se escriben los demás períodos en el lugar que les corresponde, colocando ceros para llenar los lugares que carecen de unidades: 14.

Trillones

000.000.

000.073.

000.020 m

Billones

Millones

Unidades

OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS Adición Para adicionar números enteros tendremos en cuenta las siguientes indicaciones:  Si los dos tienen igual signo (son los dos positivos o los dos negativos), sumamos sus módulos y al resultado le colocamos el mismo signo que tienen los sumandos. Ejemplos: 12 + 4 = 16 -12 + (-4) = -16  Si los sumandos tienen distinto signo resto sus módulos y al resultado le colocamos el signo del que tiene el sumando de mayor valor absoluto. Ejemplos: 15 + (-3) = 12 -15 + 3 = -12  La adición en ℤ cumple con las siguientes propiedades: conmutativa, asociativa, existencia del elemento neutro, existencia del elemento inverso aditivo u opuesto. Propiedades de la adición  Propiedad conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma. a + b = b + a  Propiedad asociativa: Dados dos o más números enteros la suma final no varía si se reemplazan varios sumandos por su suma ya efectuada. a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)  Ley del elemento neutro: Existe en el conjunto ℤ, el elemento cero que sumado a cualquier número entero, no altera la suma. a + 0= 0 + a = a  Ley del elemento opuesto: Todo elemento del conjunto ℤ, admite un opuesto, tal que sumado al número dado, da por resultado cero. a + (-a)= (-a) + a = 0

Sustracción La sustracción no es más que un caso particular de la adición.  Restar un número entero es lo mismo que sumar su opuesto. a – b = a + (-b)

Ejemplos: 200 – (-150) = 200 + (+150) =350 - (+150) = 100 + (-150) = - 50

Multiplicación Cuando multiplicamos dos números enteros debemos respetar las siguientes reglas de los signos:  Al multiplicar dos factores de igual signo (los dos positivos o los dos negativos) el resultado es positivo.  Al multiplicar dos factores de distinto signo (uno es positivo y el otro es negativo) el resultado es negativo.

+.+=+

+.-=-

-.-=+

-.+=-

La multiplicación cumple con las siguientes propiedades: conmutativa, asociativa, existencia del elemento neutro, distributiva con respecto a la adición y sustracción. Propiedades de la multiplicación  Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera el producto. a . b = b . a  Propiedad asociativa: Dados dos o más números enteros el producto final no varía si se reemplazan varios factores por su producto ya efectuado. a . b . c = (a . b) . c = a .( b . c)  Ley del elemento neutro: Existe en el conjunto ℤ, el elemento uno que multiplicado a cualquier numero entero, no altera el producto. 1 . 0= 1 . a = a  Ley del elemento absorbente: Existe en el conjunto Z, el elemento cero que multiplicado a cualquier número entero, da por resultado cero. a . 0= 0. a = 0  Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y la resta: El producto de un numero entero por una suma algebraica, puede ser obtenido calculando la suma de los productos de cada termino de la suma por el factor considerado. d . (a+ b –c)=d.a +d.b - d.c (a+b –c) . d =a.d +b.d – c.d

Suma algebraica Se denomina suma algebraica a la sucesión de adiciones y sustracciones. Para resolver una suma algebraica se procede así: a la suma de los números precedidos por el signo “+” se le resta la suma de los números precedidos por los signos “-” Ejemplos:

-17 – 8 - 5 + 3 + 21 – 12 + 5 = (21 + 3 ) – (17 + 8 +12) = 24 - 37 = -7

Si un mismo número esta sumando y restando en el mismo miembro lo puedo cancelar.

Supresión de paréntesis Recuerda: Todo paréntesis precedido del signo + se pueden eliminar sin cambiar el signo de los términos que están encerrados en el. a) 2 + (11 - 4) = 2 + 11 - 4 2 + 7 = 13 - 4 9=9 Todo paréntesis precedido del signo - se pueden eliminar cambiando el signo de todos los términos que están encerrados en el. b) 12 - (11 - 4) = 12 - 11 + 4 12 - 7 = 1 + 4 5=5 Si en el ejercicio aparecen paréntesis, corchetes y llaves, se suprimen en ese orden, aplicando las mismas reglas de supresión de paréntesis.

División Para dividir números enteros, dividimos sus módulos y al cociente le colocamos el signo que corresponde según la regla de los signos de la multiplicación.

+:+=+

+:-=-

-:-=+

-.+=-

Operaciones combinadas (+6) . (-5) – (7+2) : (-3) – 3 + 4 = Se separa en términos. (-30) - 9 : (-3) – 3 + 4 =

Se resuelven las operaciones indicadas entre paréntesis.

(-30) - (-3) - 3 + 4 =

Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.

-30 + 3 - 3 + 4 =

Cuando dos términos son números opuestos, se pueden cancelar.

-30 + 4 = -26

Se resuelven las sumas y las restas.

Potencias de números enteros Una vez más recordamos que el conjunto de los números enteros es una ampliación del conjunto de los números naturales. Por lo tanto todo lo que ya sabíamos para el conjunto de los naturales se cumple en el conjunto de los enteros.

Veamos el significado de las potencias de exponente positivo en el conjunto de los enteros, para ello presentamos distintas situaciones. 1. Si a es un número estrictamente positivo, entonces a x a x a x.....x a , n veces, se escribe an 2. Si a es un número estrictamente negativo, entonces ax ax ax.....x a, n veces, se escribe n a . La base es ay el exponente es n. 3. Si a es 0 y n>0, entonces: 0n 0 . 4. Si a es un entero no nulo, y n=0, entonces a0 1 5. Si a es un entero cualquiera, y n=1, entonces a1 a

Regla de los signos: si la base es positiva el resultado es positivo. Si la base es negativa el resultado depende del exponente:

+par = + - par = +

+impar = + - impar = -

- si es par el resultado es positivo. - si es impar el resultado es negativo.

Para tener en cuenta:

-22 ≠ (-2)2

Si una potencia tiene base negativa, esta se debe encerrar entre paréntesis.

-4 ≠ +4 Las potencias gozan de las siguientes propiedades:

 Producto de potencia de igual base: el producto de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base, cuyo exponente es la suma de los exponentes dados.  Cociente de potencia de igual base: el cociente de dos potencias es otra potencia de la misma base, cuyo exponente es la diferencia de los exponentes dados.  Propiedad distributiva: la potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división.

(a . b)n = an . bn ( )n = an / bn, si a es múltiplo de b  Potencia de potencia: la potencia de una potencia es otra potencia de la misma base cuyo exponente es igual al producto de los exponentes dados.

(bn)m = bn.m

Radicación Es la operación inversa de la potenciación.

Índice =r

Raíz

Radicando Gozan de las siguientes propiedades  Propiedad distributiva con respecto a la multiplicación y a la división: la radicación es distributiva con respecto a la multiplicación y división de los radicando  Raíz de raíz: la raíz de raíz es otra raíz de igual radicando, donde el índice es igual al producto de los índices dados.  Propiedad cancelativa de los índices: si dos raíces de igual índice son iguales, entonces sus radicandos son iguales.

EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS DECIMALES Recordemos primero con el siguiente diagrama la cadena de inclusión de los distintos conjuntos numéricos.

El diagrama nos otorga la siguiente información: IN Z ID Q  IN es el conjunto de los números naturales: 0; 1; 2; …  Z es el conjunto de los números enteros … -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …  ID es el conjunto de los números decimales acepta dos formas de escritura, la posicional y la fraccionaria… ; 0,4…  Q es el conjunto de los racionales A partir de este diagrama surgen las primeras dudas: ¿qué diferencias hay entre 0,

y 0,3 que

justifiquen que aparezcan en diferentes conjuntos numéricos? ¿No todo número provisto con coma es un número decimal? ¿Cuál es la diferencia? En los números decimales hay un número finito de cifras después de la coma. Sin embargo algo tienen en común. Cualquiera de ellos aparece por división de dos números enteros a, b con b≠0.

Lo que tienen en común las tres situaciones es que dados dos números enteros a y b, se busco el número x, tal que b • x = a Decimos que los cocientes son números decimales, cuando al dividir a por b, llegamos al resto cero. Los decimales forman un conjunto, se denota con la letra ID.

Si bien es cierto que los números enteros no tienen coma, también son decimales, porque se pueden obtener como cocientes de dos números enteros, siendo el segundo no nulo. Por otra parte nada nos impide que los escribamos con coma. Así por ejemplo: 6 = 6,0 = 6,00 = 6,000………

OTRA FORMA DE DEFINIR LOS NUMEROS DECIMALES Un número es un decimal, si y solo si, puede escribirse bajo la forma d = n • 10p donde n y p son números enteros. Si p es positivo, el decimal d = n • 10p es un entero. Clarifiquemos con un ejemplo: 200 es un entero pues 200 = 2 • 102, o –3 es un entero pues -3 = 3 • 100 Si p es negativo, el decimal d = n •10p es un decimal, por ejemplo:

Los números decimales pueden darse mediante escritura posicional, con el uso de una coma decimal. Usualmente se dice que esa escritura es una escritura decimal. Con esa escritura, los algoritmos desarrollados en Z , con respecto a las operaciones enteras, se extienden naturalmente a ID. Por otra parte, ambos tienen la misma estructura algebraica, a partir de la suma y la multiplicación; por lo tanto todo lo que se sabe de Z, se aplica naturalmente a ID. También cabe destacar la similitud entre IN y, por lo que lo aprendido en IN, se extiende a ID. La característica fundamental de ser un sistema posicional es que, a cada cifra que forma parte del numeral de un numero hay que reconocerle dos valores: un valor absoluto (propio o intrínseco) y un valor relativo que depende de su posición. Entre las distintas variantes que podemos emplear para representar un número, recordemos dos de ellas: Escritura multiplicativa (mixta): 1 x 10 000 + 2 x 1 000 + 3 x 100 + 5 x 10 + 6 x 1 Escritura expandida: 1 x 104 + 2 x 103+ 3 x 102 + 5 x 101 + 6 x 100 Entre ambas no hay grandes diferencias, en la exponencial, se pone en evidencia lo siguiente:  Toda cifra escrita inmediatamente a la izquierda de otra, representa unidades del orden inmediato superior, y cada unidad de un determinado orden es igual a 10 unidades del orden inmediato inferior.  Toda cifra escrita, escrita inmediatamente a la derecha de otra, representa unidades del orden inmediato inferior.

Se trata de continuar ese mismo convenio, para representar números decimales con escritura posicional, es decir, dados mediante escritura condensada, en la cual, el uso de la coma, distingue la parte entera decimal, o sea la parte fraccionaria del numero decimal.

¿Cuáles son las unidades de los diversos ordenes decimales? Algunos son:

Escritura multiplicativa (mixta): 134,256 11003104120,150,0160,001 Escritura expandida 134,256 1102 3101 4100 2101 5102 6103 Los números decimales también admiten representación fraccionaria

con a, b enteros yb 0

OPERACIONES CON NUMEROS DECIMALES Adición La suma o adición en los, como ya lo anticipamos, prolonga la suma o adición en los IN. Por lo tanto tiene las mismas propiedades que en naturales. Luego,  es asociativa.  el cero es elemento neutro para la adición,  es conmutativa. Por otra parte siendo ℤ una parte de ID, es natural pensar que la suma cumpla las mismas propiedades que en este conjunto numérico.

Propiedades de la adición

Al igual que ocurre con los números enteros, la sustracción enriquece la adición. Por lo que cualquiera sean los decimales a y b, a b a b Recuerda entonces para sumar y/o restar los números decimales, debes colocar los números uno debajo del otro de manera que los diversos ordenes de unidades se correspondan, esto se consigue haciendo que las comas de los distintos números queden en columna. Por ejemplo:

Multiplicación De igual forma la multiplicación en decimales positivos prolonga la multiplicación en IN y ℤ , porque cumple con las mismas propiedades. Cuando uno quiere multiplicar los números decimales positivos acepta la siguiente regla práctica: se multiplican como si fueran enteros positivos, separando en el producto tantas cifras decimales como tengan los factores. Por ejemplo: 0,312 3,6 La multiplicación en ID es una ampliación de la multiplicación en por lo que operamos de la misma manera y por ser además una ampliación de la multiplicación en ℤ cuando tenemos que multiplicar decimales de igual y distinto signo lo resolvemos de manera similar: Cuando los números decimales a y b, son del mismo signo, el producto ab es positivo.

Cuando los números decimales a y b, son de distinto signo, el producto ab es negativo. Ejemplo: 0,312 3,6 0,32,5 7,5 Las propiedades que tiene la multiplicación en ID son las mismas que tiene la multiplicación en enteros. Propiedades de la multiplicación

ORDEN – COMPARACION – VALOR ABSOLUTO Resaltaremos algunas ideas que debes tener claras y que seguramente ya conoces.  Todo numero decimal tiene su lugar en la recta numérica.  Si a es un número decimal positivo, su opuesto es negativo y, recíprocamente, si a es negativo su opuesto es positivo.  0 es el único decimal que es igual a su opuesto.  Recuerda que se llama “valor absoluto” o “modulo” de un numero a, y se expresa “| |” a la distancia que existe de dicho numero al cero.  El valor absoluto de cero es 0: | | = Para comparar números decimales aplicamos las reglas similares a las que usábamos con los números enteros:  Si los dos son positivos comparamos la parte entera, el que tenga mayor parte entera será el mayor. Ejemplo: 12,5 < 18,87 65,125 > 50, 235

 Si los dos son positivos e igual la parte entera, comparamos la parte decimal prestando atención a las unidades de distinto orden. Ejemplo: 18,5 y 18,87 como 18,5=18,50 tengo 18,50