´ Universidad de la Republica Facultad de Ingenier´ıa - IMERL

C´alculo 1 Segundo semestre 2016

Pr´actico 9 - C´alculo de integrales

1.

Teorema fundamental y regla de Barrow ´ Derivacion, ´ calcular: 1. Utilizando los resultados del ejercicio 9 del pr´actico 5 seccion b

Z (a)

Z

sin2 (t)dt

a

Z

b

(c) a

log(t) dt a, b ∈ R+

a

b

Z

1 dx 1 + x2

b

(b)

(d)

√

1 − x2

a

b

Z

1

dx, a, b ∈ [−1, 1]

−1 dx, a, b ∈ [−1, 1] √ 1 − x2

(e) a

2. Calcular la derivada de las siguientes funciones x

Z (a)

1

3.

et dt 3 + sin(t)

Z (b)

x2

G(x) = 0

√ 1+ t dt 2+t

x3

Z (c)

H(x) = x2

t7 dt 1 + t4

a) Demueste que los valores de las siguientes expresiones no dependen del valor de x Z

x

1 dt + 1 + t2

(a) 0

b) Calcule (f

−1 )0 (0)

1 x

Z

Z

1 dt 1 + t2

0

(b)

sin(x)

1 π dt , x ∈ (0, ) √ 2 2 − cos(x) 1 − t

para Z

x

(a) f (x) =

Z 1 + sin(sin(t)) dt

(b)

x

f (x) =

0

cos(cos(t)) dt 1

´ g tal que c) Halle una funcion Z

x

(a)

g(t)t dt = x + x2

x2

Z (b)

0

g(t)t dt = x + x2

0

´ positiva y derivable, probar que 4. Sea f : [a, b] → R una funcion R b f 0 (t) a) a f (t) dt = log(f (b)) − log(f (a)) R b f 0 (t) p p b) a √ dt = f (b) − f (a) 2 f (t)

c)

Rb a

2f 0 (t)f (t)dt = f 2 (b) − f 2 (b)

d) Calcular las siguientes integrales π 3

Z (a)

Z tan(t) dt

(b)

0

a

Z (e)

b

arc tg x dx 1 + x2

x2n−1 dx x2n + 1 Z

π 3

Z (c) 0

sin(t) dt p cos(t)

b

(f)

Z cos(x) sin(x) dx

(g) 0

a

1

π 3

Z

b

(d) a

x2n−1 √ x2n + 1

sec2 (x) dx a + b tan(x)

5.

´ a) Hallar la primitiva F de la funcion f (x) = tg(x) log(cos(x)), para −

π π 2 Calcular el trabajo realizado por Fx b) Una pelota de 0,37kg de masa se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 14m/s, y alcanza su altura maxima a 8,4m del punto de lanzamiento. ´ del aire sobre la pelota desde que se lanza 1) Halle el trabajo realizado por la fuerza de friccion hasta que se alcanza la m´axima altura ´ del aire realiza el mismo trabajo durante la caida calcule el modulo ´ 2) Suponiendo que la friccion de la velocidad de la pelota cuando vuelve al punto de partida 10. El centro de gravedad de una superficie plana se define, conceptualmente, de la siguiente manera: ´ r´ıgido, plano y horizontal, permanecera en equilibrio si se sostiene en un punto Un trozo de carton determinado. Este punto de apoyo es el centro de gravedad de la superficie plana del carton. Claramente para un cuadrado, un rectangulo, una circunferencia y un triangulo equilatero el centro de gravedad coincide con el centro geometrico de la figura. Si se pegan 2 rectangulos como en el de la figura entonces el centro de gravedad es centro total.

Rb Para una superficie como la de la figura el centro de gravedad es (Mx , My ), donde My = a f (x)2 dx y Rb ´ Mx = a f (x)xdx. Bosquejar un argumento sobre esta formula apartir del caso de los rect´angulos.

a) Hallar el centro de gravedad de la superficie comprendida bajo una arcada de la sinusoide (f (x) = sin(x)) b) Calcular el centro de gravedad de la figura comprendida entre la par´abola x2 − 1 y el eje Ox. Repetir ´ el primer cuadrante. la cuenta para la figura anterior interseccion c) Calcular el centro de gravedad de un semic´ırculo. Calcular el centro de gravedad de una semi elipse

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5.

Complementarios 1. Calcular el a´ rea encerrada entre: a) la par´abola y = x2 y la recta 2x + 3. b) la curva y = ex , la curva y = e−x y la recta x = 1. c) la recta y = x + 5 y la par´abola

x2 2

+ 1.

2. Suponga que f 0 es integrable en [0, 1] y que f (0) = 0. Demuestre que para todo x ∈ [0, 1] se verifica s Z1 | f 0 (x) |2 dx | f (x) |≤ 0

Demuestre que la hipotesis f (0) = 0 es necesaria. 3. Integrales de funciones trigonometricas racionales 2 2 Recordando que  sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) y cos(x) = cos (x) − sin (x), expresar sin(x), cos(x) y tan(x) en x ´ de tan 2 . funcion

R a) Probar que integrales de la forma R(sen(x), cos(x))dx donde R es una funcion racional, pueden ser R ´ u = tan( 2x ) a integrales de la forma r(u)du, donde r es tambien es reducidas mediante sustitucion una funcion racional. Calcular Z π Z 2 sin(x)dx dx y (b) (a) cos(x) + sin(x) 0 1 + cos(x) + sin(x) √ R b) Idem con R(x, a2 − x2 ) y la sustitucion x = a sin(t). Calcular Z

xdx √ 4 − x2

4 − x2 +

√ R ´ x = a sinh(t). Calcular c) Idem con R(x, a2 + x2 ) y la sustitucion Z √

dx

x 4 + x2 √ R d) Idem con R(x, −a2 + x2 ) y la sustitucion x = a cosh(t). Calcular Z √

4x2 − 1 x2

4. Sea f : [0, 8] → R continua con derivada continua y tal que f (0) = f (2) = 0. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas R8 R2 f (x) dx = 3 0 f (x3 )x2 dx 0 R2 R2 ex f 0 (x) dx = 0 2ex f (x) dx 0 5.

a) Demuestre que si f es continua entonces Zx Z f (u)(x − u)du = 0

x

0

7

Z

u

0

! f (t)dt du

b) Demuestre que si f es continua Zx Z f (u)(x − u)2 du = 2 0

6.

x

Z

0

u1

! (f (t)dt) du1 du2

0

a) Integrando por partes deducir la formula sinn−1 (x) cos(x) n − 1 sin (x) dx = − + n n R b) Hallar una formula de recurrencia para cosn (x) dx Z

n

c) Calcular Z

π 2

2

π 2

Z

sin (x) dx ;

0

Z

sinn−2 (x) dx

Z

4

sin (x) dx ;

0

π 2

∀n ≤ 2

cos3 (x) dx

0

m d) Por definicion el doble factorial es n!! = πk=0 (n−2k) donde m = d n2 e−1 y 0!! = 1. Sea an = Probar que (2n − 1)!! (2n)!! a2n = ; y que a2n+1 (2n)!! (2n + 1)!!

e) Mostrar que 1 ≤

a2n a2n+1

1 ≤ 1+ 2n . Deducir que

π 2

R

π 2

0

sinn (x)dx.

√ (2n−2)!! (n!)2 22n = l´ımn→∞ 2n( (2n−1)!! )2 y concluir que π = l´ımn→0 (2n)!√n

f ) Calcular las integrales Z (a)

sin2n (x) cos2m+1 (x) dx

Z (b)

sin2n (x) cos2m (x) dx

7. Realize una lista de familias de funciones que sabe integrar, por ejemplo: polinomios, sin2 (ax), etc. Revisar cuantas de las integrales del pr´actico estan incluidos en esa familia.

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