UNIVERSIDAD DEL TOLIMA FACULTAD DE CIENCIAS PROGRAMA DE MATEMATICAS CON ÉNFASIS EN ESTADÍSTICA IDENTIFICACION ASIGNATURA: ELECTIVA EN MATEMÁTICAS: INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE GALOIS CODIGO: 0701-136 NIVEL: X CREDITOS: 3 DESCRIPCIÓN: INTRODUCCIÓN GEOMÉTRICA A LOS FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE CAMPOS. DOCENTES: LEONARDO SOLANILLA CARÁCTER: ELECTIVO PRERREQUISITO: ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS I AREA: DISCIPLINARIA OBJETIVOS 2.1 GENERAL EL CURSO PERSIGUE SERVIR DE INTRODUCCIÓN HISTÓRICA A LA TEORÍA DE GALOIS A PARTIR DE LOS PROBLEMAS GEOMÉTRICOS QUE IMPULSARON EL DESARROLLO DE LA TEORÍA DE LAS EXTENSIONES DE LOS CAMPOS ALGEBRAICOS. EN LA MEDIDA DE LO POSIBLE, SIN PERDER RIGOR. SE BUSCA SIMPLIFICAR LA FORMALIZACIÓN EXCESIVA CON EL PROPÓSITO DE DEJAR EN CLARO LAS IDEAS PRINCIPALES. 2.2 ESPECÍFICOS: 2.2.1. PRESENTAR Y DAR RESPUESTA A LOS TRES PROBLEMAS GRIEGOS QUE CONDUCEN AL CONCEPTO DE EXTENSIÓN CUADRÁTICA DE LOS RACIONALES. 2.2.2. DESARRROLLAR LA TEORÍA NECESARIA PARA DEMOSTRAR LOS TEOREMAS DE GAUSS SOBRE LA CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES. 2.2.3. FAMILIARIZAR A LOS ESTUDIANTES CON LAS NOCIONES BÁSICAS DETRÁS DE LOS TEOREMAS DE ABEL Y GALOIS METODOLOGÍA 3.1. CLASE MAGISTRAL 3.2. RESOLUCION DE PROBLEMAS 3.3. DEMOSTRACIÓN DE TEOREMAS 3.4. TALLERES Y TAREAS 3.5. EXPOSICIONES DE LOS ESTUDIANTES

4. CONTENIDOS UNIDAD O. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA UNIDAD 1. LOS TRES PROBLEMAS GRIEGOS LONGITUDES CONSTRUIBLES; DOBLAR EL CUBO; TRISECAR EL ÁNGULO; CUADRATURA DEL CÍRCULO; POLINOMIOS; FUNCIONES SIMÉTRICAS; TRASCENDENCIA DE UNIDAD 2. CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES ÁLGEBRA DE POLINOMIOS; EXTENSIONES SIMPLES Y MÚLTIPLES; CONSTRUCCIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS; CONGRUENCIAS; TEOREMAS FUNDAMENTALES PARA LA CONSTRUCCION DE POLÍGONOS REGULARES. UNIDAD 3. SOLUCIÓN POR RADICALES PANTEAMIENTO DEL PROBLEMA; AUTOMORFISMOS Y GRUPOS; GRUPO DE UNA EXTENSION, LEMAS FUNDAMENTALES; TEOREMA DE GALOIS; TEOREMA DE ABEL 5. BIBLIOGRAFÍA (INCOMPLETA) 5.1 BÁSICA (TEXTO) HADLOCK, C. R. FIELD THEORY AND ITS CLASSICAL PROBLEMS. MATHEMATICAL ASSOCIATION OF AMERICA, THE CARUS MATHEMATICAL MONOGRAPHS, 1978. CAPÍTULOS 1 A 3. 5.2 COMPLEMENTARIA ARTIN, E. GALOIS THEORY. NOTRE DAME MATHEMATICAL LECTURES, NOTRE DAME, INDIANA, 1959. ROTMAN, J. GALOIS THEORY. NEW YORK, SPRINGER-UNIVERSITEXT, 1990.

6. PLAN DE DESARROLLO DE CONTENIDOS CON ACTIVIDADES Y TIEMPOS T TEMA ACTIVIDAD PRESENCIAL (h) Acuerdo pedagógico 1 (a) introducción Introducción histórica 1 Números racionales 1 (b) Longitudes construibles Constructibilidad 1 Doblar el cubo 1 (c) Dos de los problemas griegos Trisecar el ángulo 1 (d) Otro problema griego

Cuadratura del círculo Polinomios

1 1

(e) Primer examen

Examen primera unidad

2

(f) Algebra de polinomios

Anillos de polinomios Analogías con los números enteros Extensiones trascendentes y algebraicas Polinomios mínimos Extensiones finitas, grado de una extensión Grado de una extensión sobre Q y constructibilidad Raíces de números complejos Constructibilidad de complejos Primos de Fermat Teorema de Fermat Raíces primitivas incongruentes mod p Ejemplo del método de construcción, Taller

1 1

ACTIVIDAD INDEPENDIENTE Leer introducción Ejercicios Lectura sección 1.1 Ejercicios página 22, # 2,4 Lectura secciones 1.2, 1.3 Ejercicios página 26, # 1; página 30, # 1 Lectura secciones 1.4, 1.5 Ejercicios página 38 # 1,2, 3 Estudiar capítulo 1, Resolver problemas Lectura sección 2.1 Ejercicios página 70 # 1, 2, 4

1

Lectura sección 2.2

2

3

1

Ejercicios página 79

2

3

1

Lectura secciones 2.3 y 2.4

2

3

1 1 1 1 1

Ejercicios páginas 84 y 91 Lectura sección 2.5 Ejercicios página 98 Lectura sección 2.6 Ejercicios página 104 Lectura sección 2.9, páginas 113-118

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

4

6

(g) Extensiones simples, múltiples y finitas (h) Construcciones con números complejos (i) Polígonos regulares I (j) Congruencias (k) Polígonos regulares II

2

T (h) 2 2 2 2 2

TOTAL 3 3 3 3 3

2

3

2 2

3 3

4

6

2 2

3 3

Teorema de constructibilídad

1

Demostración

1

(m) Segundo examen

Examen segunda unidad

2

(n) Formulación del problema

Solución por radicales

2

Automorfismos de campos Grupos finitos, Teorema de Lagrange Definición Grupo de Galois Extensiones normales, caracterización Demostración Teorema

1 1 1 1 1 1

Extensiones normales y grupos normales

1

Demostración Grupos solubles, lemas Demostración k-ciclos, lemma Demostración

1 3 3 2 2

(u) Algunas ecuaciones solubles

Ejemplos

2

(y) Tercer examen

Examen tercera unidad

2

(l) Polígonos regulares III

(o) Automorfismos y grupos (p) Grupo de una extensión (q) Primor Teorema Fundamental (r) Segundo Teorema Fundamental (s) Teorema de Galois (t) Teorema de Abel

Lectura sección 2.9, páginas 105-112 Ejercicios página 119 Estudiar capítulo 2, Resolver problemas Lectura sección 3.1, Ejercicios páginas 126-127 Lectura sección 3.2 Ejercicios página 135 Lectura sección 3.3 Ejercicios página 140 Lectura sección 3.4, páginas 141 -146 Lectura sección 3.4, páginas 147-150 Ejercicios página 150 Lectura sección 3.5 Ejercicios página 165 Lectura sección 3.6 Ejerccios páginas 173-174 Lectura sección 3.7 Ejercicios página 177 Léctura capítulo 3. Resolver problemas

CREDITOS = TOTAL TIEMPO PRESENCIAL + TOTAL TIEMPO INDEPENDIENTE = 156 = 3 48 48

2

3

2

3

4

6

4

6

2 2 2 2

3 3

4

6

2

3

2 6 6 2 2

3 9 9 3 3

4

6

4

6

7. COMPETENCIAS

CONTENIDO 12

13

OTROS (15)

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

F

X

X

X

X

X

X

X

X

G

X

X

X

X

X

X

X

X

H

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X

X

X

X

X

X

X

I

X

X

X

X

X

X

X

X

J

X

X

X

X

X

X

X

X

K

X

X

X

X

X

X

X

X

L

X

X

X

X

X

X

X

X

M

X

X

X

X

X

X

X

X

N

X

X

X

X

X

X

X

X

O

X

X

X

X

X

X

X

X

P

X

X

X

X

X

X

X

X

Q

X

X

X

X

X

X

X

X

R

X

X

X

X

X

X

X

X

S

X

X

X

X

X

X

X

X

T

X

X

X

X

X

X

X

X

U

X

X

X

X

X

X

X

X

V

X

X

X

X

X

X

X

X

1

2

3

4

5

A

X

B

6

7

8

9

X

X

X

X

X

X

C

X

X

D

X

E

10

11

TIPO

1. 2. 3. 4. 5.

Trabajo en equipo interdisciplinario Conocimiento y realización de procesos investigativos Liderazgo y relaciones humanas Comunicación verbal y escrita Identificación, planeamiento y resolución de problemas desde las matemáticas y la estadística 6. Dominio en el manejo del sistema de información 7. Construcción de modelos matemáticos y estadísticos en la resolución de problemas 8. Lectura y escritura en otras lenguas modernas 9. Análisis y síntesis 10. Actualización permanente de los contenidos de su área 11. Responsabilidad y profesionalismo en la toma de decisiones 12. Análisis y organización de grandes volúmenes de información 13. Apropiación de conocimientos y conceptos 14. Permeabilidad al cambio 15. otras 15.1 Intuición del espacio 15.2. Dominio de la lógica elemental 15.3. Facultad de aceptar proposiciones y sacar conclusiones a partir de ellas (sistemas formales) 15.5. Costumbre de la demostración 11. EVALUACIÓN 8.1 TAREAS Y TALLERES (FUERA DE CLASE): 20% 8.2 EXPOSICIÓN DE UN TEMA: 20 % 8.3 DOS EXÁMENES PARCIALES: 40 % 8.4 UN EXAMEN FINAL: 20 % 7. OBSERVACIONES NINGUNA Leonardo Solanilla Ch. FIRMA. LEONARDO SOLANILLA CHAVARRO NOMBRE DEL DOCENTE

11-24-2003 FECHA